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sous groupe



  1. #1
    benoist

    sous groupe


    ------

    voila je n arrive tout simplement pas a faire cette partie de l exercice sur les groupes

    Dans cette partie, G est un sous groupe de (R,+).On se propose de caracteriser les morphisme croissant de (G,+) dans (R,+).Il est clair que pour tout reel µ, l application t->µt est un morphise de (G,+) dans (R,+),croissant si µ>=0 decroissant si µ<=0

    1)dans cette question, G est un sous groupe discret de (R,+).Soit g un morphis croissant de (G,+) dans (R,+).montrer qu il existe un reel µ,tel que pour tout t de G,g(t)=µt ( les morphise croissant de G dans R sont donc les application t->µt ou µ>=0

    2) dans cette question,G est un sous groupe dense de (R,+).Soit g un morphis croissant de (g,+) dans (R,+).pour tout reel x,on pose f(x)=sup{g(t),t appartenant a l intersection entre G et [-l infinie,x]}
    Justifier l existence de l application f:R->R montrer qu elle est croissante et est un prolongement de l application g

    3)enfin on se donne un reel strictement positif epsilon
    montrer en utilisant la densite de G dans[0,a] avec a donner dans G interR+*, qu il existe x,y dans G tels que x<y et 0<=g(y)-g(x)<=epsilon

    je n arrive pas du tout a avancer. Merci de bien vouloir m aider

    -----

  2. #2
    Pepsilone

    Re : sous groupe

    Bonjour (ca fait jamais de mal de le dire),
    pour la question 1) g:kZ->R est entiérement déterminé par g(k) 2) f existe par borne sup et densité de G la croissance et le prolongement m'ont l'air simple à montrer
    la 3) tombe en utilisant f.
    Aurevoir

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