Billard

[invitebb7355d1]

Bonjour,
Voici mon petit problème:
Comment faire pour tracer le chemin que doit suivre une boule de billard pour revenir à sa place initiale après avoir touché les 4 côtés de la table?



Lorsqu'il s'agit de trouver le chemin qu'elle doit emprunter pour toucher une autre boule après avoir touché 2 côtés, cela est simple puisqu'il suffit de travailler avec les projections



Mais si nous travaillons avec les projections, nous obtenons comme intersections les 4 coins de la table...

Merci pour votre aide

Olivier
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[invite35452583]

bonjour,
lors d'un rebond sur un bord, si tu considère la symétrique de la trajectoire après le rebond elle est alors sur la même droite que la trajectoire avant le rebond (fais un schéma, c'est assez trivial).
=>on fait un quadrillage avec des mailles rectangulaires de même taille que le billard initial (on note les sommets et leurs images par symétrie par la même lettre pour s'y reconnaître)
->on place dans chaque maille l'image du point de départ
->on recherche un segment passant par le point initial et un point image qui traverse les 4 bords ou leurs images successives.

[invitebb7355d1]

désolé mais je ne vois pas trop comment construire mes rectangles, avec quelle symétrie? comme ça?

[invite35452583]

Il faut continuer à prendre les symétriques du point initial.
A vue de nez, si on part de la maille déjà indicée en bas à droite, on se déplace de deux mailles sur la droite et d'une maille vers le bas On place l'image par les symétries successives du point initial. le segment reliant le point initial à ce point image convient.
Jusqu'où faut-il dessiner : la réponse vient du fait que l'on doit couper une fois et une seule chaque bord, il n'y a donc que 4 mailles intéressantes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb7355d1]

si je trace le segment reliant le point initial à l'image se situant dans la maille conseillée, alors ce segment ne coupe que 3 côtés. et en effet, cela fonctionne parfaitement (mis à part le fait que cela ne touche pas les 4 côtés mais 3 seuleument) mais malheureusement je ne vois aucun point qui pourrait permettre de tracer un segment coupant une fois seuleument les 4 côtés...

[invitebb7355d1]

Je pense avoir trouvé,... on se déplace d'une maille sur la gauche et de deux vers le bas. Est-ce correct?

[invite35452583]

Je pense avoir trouvé,... on se déplace d'une maille sur la gauche et de deux vers le bas. Est-ce correct?

Si tu as trouvé un segment qui coupe les 4 côtés, c'est bon.
Le déplacement que tu indiques ça dépend d'où tu pars.
Sinon je vais essayer d'être plus complet et plus clair.
Sur ton quadrillage du post 3, tu as déjà d'indice pour constater que
horizontalement 1 droite sur 2 porte des côtés "ab", 1 droite sur 2 porte des côtés "cd"
verticalement 1/2 porte des côtés "ac", 1/2 des côtés "bd"
Si on veut couper chacun des côtés une fois, il faut donc tracer un segment partant de la maille initiale jusqu'à un point d'une maille décalée par rapport à la maille initiale de 2 mailles horizontalement et de deux mailles verticalement (il y a 4 mailles situées ainsi)
A remarquer que l'on aura effectué deux réflexions d'axe horizontal et deux réflexions d'axe vertical, le déplacement obtenu est une translation de vecteur u=2(+/-ab + +/-ac) où ab et ac sont des vecteurs.
Les vecteurs u sont colinéaires à un vecteur porté par une des deux diagonales (chaque trajectoire commencera par "cogner" un bord différent des 3 autres)
Maintenant il est possible que certaines trajectoires partant d'un point donné passent par un sommet, il suffit pour cela que le point initial soit sur une des deux diagonales il y a alors deux trajectoires passant uniquement par les sommets(acceptées ou non c'est selon), les 4 trajectoires issues du centre du billard passent par les sommets.

[invite35452583]

Et en réfléchissant mieux, la réponse est tout simplement que les trajectoires cherchées sont simplement les parallèles aux diagonales.
La technique des symétries successives permet néanmoins de répondre à la quasi-totalité des "problèmes de billard" mais ici il y a plus simple.

[invitebb7355d1]

Merci, en effet ce sont les parrallèles aux diagonales... le système de construction reste quand-même pas mal du tout
Merci pour les explications, y a pas plus clair