sous-groupe additif

[matthias]

Bon désolé je voulais pas te froisser
Mais en considérant que tous les sous-groupes additifs de IR sont soit denses dans IR, soit de la forme Za, que Za est évidemment fermé et qu'il est extrèmement facile de montrer que Za + Zb est de la forme Zc si et seulement si a/b est rationnel (tout étant dans les posts précédents) ....
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[moijdikssékool]

de toute façon, aZ+bZ = aZ U bZ

je voulais dire que les sous groupes contenant aZ+bZ ou aZ U bZ sont égaux

Au fait moijdiksékool, tu as réussi à le démontrer ton problème ?

à partir de là, vu qu'un sous groupe additif discret ne peut contenir ni aZ+bZ ni aZ U bZ, on peut dire que aZ (ou {0}) est la seule forme possible

à moins que vous voyez une autre forme d'ensemble afin d'être sûr que aZ soit maximal...

[C.B.]

à moins que vous voyez une autre forme d'ensemble afin d'être sûr que aZ soit maximal...

En fait, ta démonstration n'est pas du tout rigoureuse.

[Gwyddon]

au fait C.B., d'accord avec ma remarque, ou dois-je modifier mon propos ? (à propos de A+B fermé)

[moijdikssékool]

ta démonstration n'est pas du tout rigoureuse

qu'elle soit rigoureuse ou pas, la conclusion obtenue est bien celle cherchée, non?

[matthias]

qu'elle soit rigoureuse ou pas, la conclusion obtenue est bien celle cherchée, non?

Moi je viens de démontrer la conjecture de Goldbach. Ma démonstration n'est pas rigoureuse du tout, mais le résultat est bien celui que je cherchais. Je peux quand même avoir la médaille Fields ?

[invite8f53295a]

Et les sous-groupes de R^n alors, que peut-on en dire ?

[C.B.]

au fait C.B., d'accord avec ma remarque, ou dois-je modifier mon propos ? (à propos de A+B fermé)

Je pense que tu as tout à fait raison, c'est un bon contre exemple.

qu'elle soit rigoureuse ou pas, la conclusion obtenue est bien celle cherchée, non?

Ben, du coup elle ne démontre pas grand chose : on accepte le résultat car on sait déjà qu'il est démontrable (car c'est juste un exercice).

De plus, on pourrait très bien faire ta démonstration dans le groupe munit de l'ordre lexicographique et de la topologie induite par cet ordre : toutes les hypothèses que tu utilise sur R sont vraie dans cette structure, pourtant ta conclusion ne l'est pas : les sous groupes fermés ne sont pas tous de la forme car il y a aussi qui n'est pas de la forme .
Il y a donc un gros problème de raisonnement (car en appliquant ce même raisonnement à une autre structure, on peut obtenir une conclusion fausse).

[GuYem]

Et les sous-groupes de R^n alors, que peut-on en dire ?

Je pense pas dire de bétises en disnat que si A est un sous groupe de R^n, alors la projection de A sur n'importe laquelle des coordonées donne un sous groupe de R.
Et réciproquement de manière évidente.
Tu as par exemple comme sous groupe de R:
2Z x Q ; Q x Q ; 3Z x 2Z et d'autres.
Ces derniers types sont appelés des réseaux.

[martini_bird]

Et les sous-groupes de R^n alors, que peut-on en dire ?

Salut,

un théorème issu de Mathématiques pour l'agrégation, Michel Zisman, (DUNOD, p.201), au sujet des sous-groupes fermés de Rⁿ:

Soit un sous-groupe fermé de l'espace vectoriel (réel) de dimension finie . Il existe deux sous-espaces supplémentaires et de , un sous-espace vectoriel et un réseau de tels que l'on ait

Un réseau de est un sous-groupe discret tel que soit compact.

Cordialement.

[invite8f53295a]

Et on en déduit donc un critère de densité très agréable pour les sous-groupes des R^n

[moijdikssékool]

Il y a donc un gros problème de raisonnement (car en appliquant ce même raisonnement à une autre structure, on peut obtenir une conclusion fausse).

Moijdik: en ajoutant n'importe quel b à un sous groupe additif contenant aZ, ce dernier contient bZ (si bien sûr il n'existe pas de p1,p2 tel que a.p1 = b.p2)
si ce sous groupe contient à la fois aZ et bZ, il contient aussi aZ+bZ, qui n'est pas discret

ton exemple est aZ*{0} auquel tu rajoutes un élément b = 0*p tel que p Z/2Z

pour arriver à faire l'analogie avec mon raisonnement, il faudrait que tu montres que aZ*{0} + {0}*Z/2Z est discret (la question n'est pas de savoir si c'est fermé, mais discret)

de mon côté, il est assez aisé d'affirmer que aZ + bZ n'est pas discret ssi il n'existe pas de p1,p2 tel que a.p1 = b.p2 (on part de a/b non rationnel)

[C.B.]

pour arriver à faire l'analogie avec mon raisonnement, il faudrait que tu montres que aZ*{0} + {0}*Z/2Z est discret (la question n'est pas de savoir si c'est fermé, mais discret)

Ce sous-groupe est discret, car si tu prends un élément (b,0) de ce sous groupe, alors est ouvert et son intersection avec le sous groupe est réduite au singleton (b,0).
Si on prend un élément (b,1), alors est ouvert et de même son intersection avec le sous groupe est réduite au singleton (b,1).

Ce sous groupe est donc bien discret.

[C.B.]

XCe qui ne va pas est que

Ensuite il existe un infinité d'éléments (, ) tels que est compris entre les bornes (réelles) d'un compact quelconque de |R.

ce qui est faux. De toute façon, ce qui importe c'est que si a et b sont irrationnels, il existe au moins un dans chaque ouvert (ce qui implique la densité)

Ensuite, tu n'es pas sûr d'atteindre tous les sous groupe en faisant cela (et même tu ne les atteinds pas tous).