Calcul d'intégrale en sinus

[invite84190096]

salut a tous

j'espere que vous pourriez m'aider dans ce qui suit:
je veux savoir comment on a trouvé l'intégrale de la fonction sin(x)/x entre 0 et "+l'infini" égal à pi/2 ;je veux dire quelle est la démonstration pour arriver a ce resultat?
et aussi pour la fonction "(sin(x)/x) au carré" pour les memes bornes , on trouve aussi pi/2
comment est-ce possible?

aidez-moi SVP
merci à tous
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[aNyFuTuRe-]

Hello,

la fonction que tu veux intégrer n'est tout simplement pas intégrable (au sens de Riemann) donc il n'y a pas de solution "analytique" enviseagable.
Cependant, on peut montrer qu'elle est semi-convergente : regarde du coté de l'intégrale de Dirichlet pour plus d'infos!

Cyaz

[breukin]

Une solution est de considérer la fonction :



et, en justifiant la dérivée sous le signe intégral :



qui est calculable classiquement, et dont le résultat se réintègre, en faisant apparaître un arc tg.
Pour trouver la constante d'intégration, on remarque que F(t) tend vers 0 en l'infini.

[invite84190096]

merci pour votre aide a tous les deux ,mais j'ai encore du mal a trouver comment l'integrale de "(sin(x)/x) au carré" de 0 à "+l'infini", est égale à "pi/2"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

merci pour votre aide a tous les deux ,mais j'ai encore du mal a trouver comment l'integrale de "(sin(x)/x) au carré" de 0 à "+l'infini", est égale à "pi/2"

Ca n'est pas direct . Mais il existe pas mal de méthodes, plus ou moins longues, pour y arriver.

edit: voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...e_de_Dirichlet (tu es sûr pour le carré ?)

[breukin]

Pour sin², tu intègres par parties :
1/x² donne –1/x et sin²x donne sin 2x, et donc tu te ramènes à la première intégrale avec le changement de variable y=2x.

[invite57a1e779]

tu es sûr pour le carré ?

On a effectivement et il me semble que la version discrète est également vraie : .

[invitec053041c]

On a effectivement

C'est un joli résultat !

[inviteec581d0f]

et si on voulait le démontrer on fait comment ?

[invite57a1e779]

Voir le message #6 de breukin

[invite84190096]

Ca n'est pas direct . Mais il existe pas mal de méthodes, plus ou moins longues, pour y arriver.

edit: voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...e_de_Dirichlet (tu es sûr pour le carré ?)

le lien que tu m'as donné est la demonstration de l'integrale de sinx/x seulement (pas celle au carré)

merci quand meme pour ton aide

[invite84190096]

Pour sin², tu intègres par parties :
1/x² donne –1/x et sin²x donne sin 2x, et donc tu te ramènes à la première intégrale avec le changement de variable y=2x.

merci breukin c'etait ca la demonstration !
merci a tous de votre aide

[invite57a1e779]

merci breukin c'etait ca la demonstration !

Ben, oui !!!

[inviteec581d0f]

merci c'est stylé en fait

[invitec053041c]

merci c'est stylé en fait

Je suis d'accord, c'est élégant et très rapide.

[breukin]

Pour la somme discrète, on considère :

L'analyse de fourier montre que :
pour
Si on considère :

On a
Donc
Soit

[Celestion]

Je vous propose une autre méthode qui utilise la transformée de Fourier. (je ne sais plus si elle est vue en prépa)

On commence par montrer que la transformée de Fourier d'une porte est un sinus cardinal :

On a donc montré qu'une porte dans le monde fréquentiel correspond à un sinus cardinal dans le monde temporel. Or la valeur de est donnée par la valeur en 0 de sa transformée de Fourier qui vaut 1 ici.