Fonction réciproque et convexité

[invite5f2001cc]

Pour commencer bonjour à tous, je suis nouveau sur ce forum (de toute façon on s'en fout) , voilà j'ai 2 petits problèmes de mathématiques :

1) Soit x,y de et f une fonction continue telle que :

((x+y)/2) =< ((x)+(y))/2

Montrer que f est convexe . Pour celui-ci je n'ai aucune idée de la manière de procéder, rien c'est le néant total !!!!!

2) Plus simple , soit une fonction telle que :

(x) = arcsin(sin(x)) + arcsin(sin(2x)).
Montrer que h est une fonction affine. Pour celui-là je l'ai fait , mais je ne suis pas sure que ça soit juste.
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[invite57a1e779]

1) Soit x,y de et f une fonction continue telle que :

((x+y)/2) =< ((x)+(y))/2

Montrer que f est convexe.

Il doit manquer un quantificateur : « pour tout x et tout dans ».

On doit prouver que pour tout dans .

1. C'est vrai si ou .
2. On le prouve pour tout , entier tel que , par récurrence sur .
3. On conclut en usant de la continuité de .

2) Plus simple , soit une fonction telle que :

(x) = arcsin(sin(x)) + arcsin(sin(2x)).
Montrer que h est une fonction affine.

C'est faux : une fonction affine est non bornée sur , alors que est bornée sur ...

[invite5f2001cc]

Il doit manquer un quantificateur : « pour tout x et tout dans ».

On doit prouver que pour tout dans .

1. C'est vrai si ou .
2. On le prouve pour tout , entier tel que , par récurrence sur .
3. On conclut en usant de la continuité de .



C'est faux : une fonction affine est non bornée sur , alors que est bornée sur ...

Comment prouves-tu que est borné sur , pour la convexité je ne comprends pas ta résolution.

[invite57a1e779]

Comment prouves-tu que est borné sur

La fonction arcsinus est à valeurs dans , par addition est à valeurs dans , ce qui ne peut être le cas pour une fonction affine.

pour la convexité je ne comprends pas ta résolution.

Tu sais que, pour tout et tout réels, .

Tu en déduis .
De même :

Tu recommences pour avoir des inégalités du genre ou .

Par récurrence sur tu prouves que, pour tout entier avec .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5f2001cc]

La fonction arcsinus est à valeurs dans , par addition est à valeurs dans , ce qui ne peut être le cas pour une fonction affine.



Tu sais que, pour tout et tout réels, .

Tu en déduis .
De même :

Tu recommences pour avoir des inégalités du genre ou .

Par récurrence sur tu prouves que, pour tout entier avec .

Merci. God's breath

[invitef9f95d1e]

Pour h, elle est peut-etre affine par morceaux plutot.

[invite5f2001cc]

De quelle manière , on découpe l'intervalle de definition de h ??