intersection réduite à {0}? pas si sûr...

[vince3001]

Bonjour
voila l'énoncé de mon problème :
"Soit E un espace euclidien de dim finie supérieure ou égale à 2. On notera (|) son produit scalaire et || || la norme associée. Ds toute la suite, u et v sont 2 vecteurs de E, tous deux non nuls et on définit un endomorphisme f de E en posant :f(x)=x-(v|x)u pour tout x ds E"

J'ai montré que :
u est vecteur propre de f et que =1-(v|u) est valeur propre associée
=1 est valeur propre de f et l'espace propre associé correspond aux vecteurs orthogonaux à v

Je dois maintenant montrer que :
"On suppose que (u|v) différent de 0. Montrer que E=E() E()"

Voilà mon pb :
"on prend x ds l'intersection des 2 ensembles et on cherche ds un premier tps à montrer que x=0
on a x orthogonal à v car x ds E()
de plus x est ds E() dc ... dc quoi? x n'est pas forcément colinéaire à u vu que l'on ne connaît pas la dimension de E()! Si cela avait était la cas la conclusion ne m'aurait pas posée de pb (si elle était égale à 1 tout du moins)...

Merci de votre collaboration
-----

[God's Breath]

de plus x est ds E() dc ... dc quoi?

... donc ...

[vince3001]

en effet...tout simplement

[vince3001]

Merci beaucoup!

[A voir en vidéo sur Futura]

[vince3001]

J'ai une nouvelle question...
Si un f admet une seule valeur propre, est-ce que sa multiplicité est alors égale à la dimension de E?

[God's Breath]

Qu'appelles-tu « multiplicité » d'une valeur propre ?

[vince3001]

c'est le nombre de fois que celle-ci annule le polynome caractéristique...

[vince3001]

j'ai la forte impression que la réponse est oui car le polynome caractéristique est de degré n
confirmation?

[God's Breath]

Tout dépend si le corps de base est algébriquement clos ou non.

[invite7ffe9b6a]

Bonjour,
par exemple l'endomorphsime de R^3 dont la représentation dans la base canonique est:




admet une seule valeur propre 1 (de multiplicité algebrique 1)

[vince3001]

Comment savoir si le corps de base est algébriquement clos ou non?
je ne connais pas ce terme...

[God's Breath]

L'espace est supposé euclidien, donc le coprsde base est qui n'est pas algébriquement clos.

Reprends l'exemple de Antho07, ou plus simplement l'endomorphisme de matrice , et tu auras la réponse sur la multiplicité d'une valeur propre unique.

[invite7ffe9b6a]

Algebriquement clos signifie que tout polynôme sur le corps est scindé.

C'est à dire que tout polynome P peut s'écrire sous la forme



(Autrement dit tout polynome non constant admet au moins une racine)


Par exemple ,

n'est pas algebriquement clos: par exemple le polynome n'admet pas de racines réelles

est algebriquement clos
(theorème de d'Alembert -Gauss)

[vince3001]

ok merci...ça fait pas mes affaires, ms au moins j'aurais appris des trucs.

[God's Breath]

ça fait pas mes affaires

et si tu nous disais tout simplement sur quelle difficulté tu achoppes ?

[vince3001]

on suppose que (u|v)=0. MOntrer que 1 est la seule valeur propre de f et que f n'est pas diagonalisable

j'ai réussi à montrer que 1 était la seule valeur propre de f , ms pour montrer que f n'est pas diagonalisable je voulais dire :
"=1 est unique valeur propre de f.cela implique que la multiplicité de est égale à n. Or dim de n'est pas égale à n car v n'est pas ds . Dc f n'est pas diagonalisable"

[vince3001]

D'autre part après on me demande de trouver une condition nécessaire et suffisante sur u et v pour que f soit diagonalisable

je voulais montrer que (u|v) différent de 0 etait cette condition.
Pour cela je disais qu'on avait déjà montré le sens direct par la contraposée (question précédente...) et pis après je disais : "d'après la question c/ (qui portait sur les espaces supplémentaires), dim et dim de . Montrons alors que ...cela devenait évident si la somme des multiplicité était égale à n"

[God's Breath]

on suppose que (u|v)=0. MOntrer que 1 est la seule valeur propre de f et que f n'est pas diagonalisable

j'ai réussi à montrer que 1 était la seule valeur propre de f , ms pour montrer que f n'est pas diagonalisable

le plus simple est de prouver que l'espace n'est pas somme (directe) des espaces propres, ce qui est immédiat puisqu'il n'y a qu'un espace propre dans cette somme...

[vince3001]

le plus simple est de prouver que l'espace n'est pas somme (directe) des espaces propres, ce qui est immédiat puisqu'il n'y a qu'un espace propre dans cette somme...

Je suppose qu'un théorème dit:"f diagonalisable ssi E=somme directe de tous les ss espaces propres"?
Sinon je suis d'accord pour dire que E n'est pas égal à

[God's Breath]

Je suppose qu'un théorème dit:"f diagonalisable ssi E=somme directe de tous les ss espaces propres"?

Pour moi, c'est la définition de « f est diagonalisable ».

[vince3001]

en effet...après une meilleure lecture de mon cours...

[vince3001]

Bonjour
voila l'énoncé de mon problème :
"Soit E un espace euclidien de dim finie supérieure ou égale à 2. On notera (|) son produit scalaire et || || la norme associée. Ds toute la suite, u et v sont 2 vecteurs de E, tous deux non nuls et on définit un endomorphisme f de E en posant :f(x)=x-(v|x)u pour tout x ds E"

Bonjour,
J'ai une nouvelle question sur ce problème :
J'ai montré que f est orthogonal ssi u= 2v/(v|v)
on me demande de faire une interprétation géométrique de f ds ce cas. En faisant qq recherche j'ai trouver la réponse, ms je n'en suis pas pleinement convaincu : c'est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan (réflexion). Pq ? et à quoi cela correspond-t-il ds le pb?
Ds mon esprit je pouvais seulement dire que f(x) appartenait à la parrallèle à u qui passe par x. Pourriez vous m'éclairer ? Merci