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projection orthogonale d'une matrice

  1. juju25530

    Date d'inscription
    novembre 2008
    Âge
    25
    Messages
    59

    Unhappy projection orthogonale d'une matrice

    bonjour, merci à ceux qui m'aideront
    On considère la droite vectorielle D, du R-ev de R^3, engendré par (2,2,-1),R^3 muni du PS usuel
    u=(2,2,-1),v=(1,0,2) et w=(4,-5,-2) une base ortho de R^3 et (u,v) une base de D ortho

    je dois calculer la matrice de la projection orthogonale p sur D et celle de q sur D ortho dans la base canonique , ici je ne comprend pas la méthode et je ne vois pas ce qi fauut faire


     


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  2. sylvainc2

    Date d'inscription
    octobre 2008
    Messages
    363

    Re : projection orthogonale d'une matrice

    La projection orthogonale d'un vecteur v sur un vecteur unitaire n se calcule avec le produit scalaire:
    v' = <v,n>n

    Dans une base orthonormée de R^3, où v = (x,y,z) et n = (a,b,c), le produit scalaire s'écrit:
    <v,n> = ax + by + cz

    et donc:
    v'= <v,n>n = ( a^2x+aby+acz, abx+b^2y+bcz, acx+bcy+c^2z)

    On remarque que sous forme de matrice ca peut s'écrire v' = Av, où A est:
    [ a^2 ab ac ]
    [ ab b^2 bc ]
    [ ac bc c^2]

    Et bien c'est ca la matrice de la proj ortho sur le vecteur unitaire n=(a,b,c) dans une base orthonormée.

    Maintenant, pour la proj ortho sur le plan orthogonal à n, on remarque qu'on peut écrire v = v' + v'', où v' est la composante de v dans l'orthogonal au plan, et v'' la composante dans le plan. Donc v'' = v - v'.

    On connait deja v'=Av, donc: v'' = v - Av. La matrice de cette transformation s'écrit donc B = Identite - A. Voila.

    On peut voir que A et B respectent les propriétés d'une projection orthogonale: det(A)=0, A^2=A, An=n, det(B)=0, B^2=B, Bn=0.
     

  3. Flyingsquirrel

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    3 590

    Re : projection orthogonale d'une matrice

    Salut,

    Une « autre » méthode : calculer la matrice de dans la base (facile !) puis faire un changement de base.
     


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