Fonction caractéristique de la loi normale

[chwebij]

Bonjour,

je cherche le moyen de calculer la fonction caractéristique de la loi normale. mais hélas je bloque. quelqu'un aurait-il une astuce?
merci d'avance
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[invite1237a629]

Salut,

Calcule avec u réel, puis utilise le théorème de prolongement analytique

[invitef75e4a38]

Haileau.

Sinon, il suffit de la calculer pour la loi Normale centrée réduite, ça c'est de l'analyse tout bête (enfin tout bête...) et on utilise le fait que pour a,b dans R on a

Phi_(aY+b)(t) = e^(ibt)Phi_Y(at) où Y est une var.
Ce résultat se prouve facilement.

[Romain-des-Bois]

Salut,

Calcule avec u réel, puis utilise le théorème de prolongement analytique

Bonjour,

je propose une solution plus élégante (à mon gout, hein !).

- Premier point : par un changement de variable, on se ramène à l'étude de la fonction caractéristique de la loi normale centrée réduite

- Second point :
On pose où X suit une loi .
Avec le théorème de dérivation sous l'intégrale :


Or :


On intègre par parties, en posant :



Et on trouve une équation différentielle (facile à résoudre).

Romain

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Ah vi j'avais oublié cette méthode ^^

Et sinon, en voyant les deux messages précédents, je me suis dit : "oups, tu as oublié de préciser que c'est pour X ~ N(0,1)"

[chwebij]

merci pour vos reponses!
le coup de la centré réduite, j'y avais pensé mais je restais bloquer devant cette integrale. Bien joué pour l'astuce de l'équa diff!
pour le prolongement analytique, je ne vois pas du tout en quoi ca consiste (je ne suis pas mathématicien) vu que je ne le connais pas.
merci encore

[Romain-des-Bois]

Je crois qu'on peut aussi s'en sortir en écrivant l'exponentielle comme une série et en permutant .

Note qu'en connaissant la fonction caractéristique, tu trouves la transformée de Laplace (et vice-versa) :