Problème de minimisation

[invite4349cd52]

Bonjour à tous, et merci d'avance pour les minutes que vous pourriez consacrer à mon problème

Une petite introduction pour savoir d'où vient cette question ^^
Ceux qui s'en fichent, passez directement à la suite

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Étant intéressé par les questions écologiques, notamment au niveau de l'habitat, je suis venu à me poser la question suivante :

Quelle est la forme de maison qui permet d'avoir le rapport surface/volume le plus petit possible. En ne comptant pas la face qui est confondue avec le sol.

A priori, c'est la forme demi sphérique qui est la meilleure, mais aménager et surtout construire une maison de cette forme la me semble bien compliqué. Donc reste à savoir qui du cube et du parallélépipède rectangle est le meilleur candidat.

Si on comptait toutes les faces, le cube serait surement meilleur, mais avec une face cachée ..

Donc voilà, Soit , existe-il des triplets (x,y,z) de réels >0, tels que :


et


(donc un cube et un parallélépipède de même volume, mais avec le deuxième ayant une surface hors sol moindre que le premier)

Merci d'avance
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[KerLannais]

Salut,

Oui

[invite4349cd52]

Merci à toi

Une petite explication peut être ?

Ce sont les seuls qui marchent ?

[KerLannais]

Salut,

J'ai simplement résolu le problème de minimisation que tu avais posé.
A savoir, si on fixe le volume d'un parallèlépipède égal à quels sont les valeurs des cotés qui minimisent la surface hors plancher:

Autrement dit il faut minimiser la quantité avec la contrainte

On peut bien sûr sortir toute l'armada de la théorie de l'optimisation et utiliser la méthode des multiplicateurs de Lagranges. On peut aussi y aller tout simplement:
j'exprime en fonction de . Le problème est alors de minimiser la fonction de et suivante:

avec la contrainte
Comme on est sur un domaine ouvert on sait que s'il y a un minimum en alors

et

ce qui donne

En particulier

et

ce qui donne

Comme la fonction est positive (et donc minorée) et qu'elle tend vers l'infini au bord du domaine qui est ouvert (c-à-d quand ou tendent vers par valeurs supérieures ou vers l'infini) alors elle atteint son minimum en au moins un point qui vérifie les conditions précédentes et on a vu qu'un seul point vérifiait ces conditions c'est donc bien le minimum. La solution du problème est:


autrement dit la meilleur forme n'est pas la maison cubique mais une maison à base carré moins haute que large. C'est un problème très joli qui pourrait faire l'objet d'un exo.

Dans le même genre il y a l'exo suivant:
Les indiens habitent des tentes coniques appelées tipi, la toile de tente est en général de la peau de Bison tannée, afin de préserver l'espèce des bisons il est intéressant de savoir quelle forme donner au tipi pour optimiser le volume intérieur en fonction de la surface de peau utilisée (bien sûr la peau sert seulement pour les paroi et il n'y en a pas au sol, il ne faut donc pas considérer toute la surface du cone).

La réponse est que le rapport de la hauteur du tipi sur le rayon de sa base doit vérifier

je te laisse faire l'exo. Ce qui est amusant c'est que sans faire le calcul les Indiens avaient trouvé et utilisé cette forme de tipi optimale

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4349cd52]

en fait c'était super simple .. j'aurais pu le faire, mais j'ai pris le problème par un mauvais bout et patatrac

'me manque encore un peu de métier

merci encore

je m'attaque au pb du tipi demain ... ce soir, trop fatigué ^^