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Suite de Fibonacci

  1. pichoun

    Date d'inscription
    novembre 2008
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    34

    Suite de Fibonacci

    Pour décoller un peu des exos d'annales barbants en préparation du bac, je m'atteles en ce moment à des petites recherches sur le nombre d'or. J'essai en ce moment de démontrer que le rapport de deux termes de la suite de Fibonacci converge vers le nombre d'or.

    Je m'y suis pris de la manière suivante:

    Poser Wn=Un+1/Un

    Dmq que 0<Wn<2

    Dmq Wn est croissante

    Dmq ainsi que Wn converge, chercher sa limite et tomber royalemen sur phi....


    Suis sur la bonne voie?

    -----

     


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  2. CM63

    Date d'inscription
    juin 2006
    Localisation
    Un peu au large de la faille de Limagne
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    Messages
    3 235

    Re : Suite de Fibonacci

    Bonsoir,
    Moi, je l'avais démontré en cherchant l'expression de Un, tout simplement. Tu sais comment faire?
     

  3. pichoun

    Date d'inscription
    novembre 2008
    Âge
    26
    Messages
    34

    Re : Suite de Fibonacci

    j'ai vu une demo comme ca sur internet mais j'ai pas compris, je suis qu'en terminale. je voulais essayer de le faire comme ca mais est ce que ca marche.

    Et Wn semble décroissante je m'escuse
     

  4. CM63

    Date d'inscription
    juin 2006
    Localisation
    Un peu au large de la faille de Limagne
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    64
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    3 235

    Re : Suite de Fibonacci

    Non, Wn tend vers l'infini, puisqu'elle est équivalente à Un et que Un tend vers l'infini. Mais je ne vois pas l'intérêt de passer par Wn .

    Le carton !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! le 1000ième message !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
     

  5. pichoun

    Date d'inscription
    novembre 2008
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    26
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    34

    Re : Suite de Fibonacci

    Wn ne représente pas le rapport de deux termes consécutifs de la suite de fibonacci???

    Sinon peux tu m'expliquer comment trouver le terme général de Un sans me le faire???
     


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  6. pichoun

    Date d'inscription
    novembre 2008
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    26
    Messages
    34

    Re : Suite de Fibonacci

    ahh je pense avoir pigé......
     

  7. -Zweig-

    Date d'inscription
    septembre 2007
    Âge
    27
    Messages
    825

    Re : Suite de Fibonacci

    Bah montre par récurrence que :



    Après pour trouver cette formule sans passer par la récurrence, ça fait appel à des notions hors-programme par rapport à la T°S (équation caractéristique etc ...).
     

  8. CM63

    Date d'inscription
    juin 2006
    Localisation
    Un peu au large de la faille de Limagne
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    3 235

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par pichoun Voir le message
    Wn ne représente pas le rapport de deux termes consécutifs de la suite de fibonacci???
    AH ok, oui peut-être, je n'avais pas compris, je regarde.
    Citation Envoyé par pichoun Voir le message
    Sinon peux tu m'expliquer comment trouver le terme général de Un sans me le faire???
    Tu cherche une solution du terme Un de la suite de Fibonacci de la forme :
    Un=rn , où r est réel
    Tu t'apperçois qu'il y a 2 solutions : r1=Phi et r2=-1/Phi
    En fait toute solution de la forme Un=A U1n + B U2n , où U1n=r1n et U2n=r2n, vérifie la relation de récurrence de Fibonacci.
    Pour trouver A et B, il suffit d'écrire la condition initale : U0=1
    Ensuite, on demontre facilement que le rapport Un+1/Un tend vers Phi.
     

  9. -Zweig-

    Date d'inscription
    septembre 2007
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    27
    Messages
    825

    Re : Suite de Fibonacci

    Une autre manière de faire.

    On pose
    On remarque que

    On en déduit alors, en isolant :
    Or avec et

    D'un autre côté,



    D'où par identification,
    Dernière modification par -Zweig- ; 08/06/2009 à 23h20.
     

  10. -Zweig-

    Date d'inscription
    septembre 2007
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    27
    Messages
    825

    Re : Suite de Fibonacci

    Dans mon tout premier message, c'est un "-" entre les deux parenthèses.
     

  11. ericcc

    Date d'inscription
    août 2005
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    Paris
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    58
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    3 500

    Re : Suite de Fibonacci

    Si on veut rester au niveau terminale, la méthode de Zweig me semble délicate, et il n'est pas nécessaire de passer par la formule qui donne l'expression exacte de Un:

    On sait que Un+2=Un+1+Un
    On peut diviser tout par Un+1 qui n'est jamais nul.

    En posant Wn=Un+1/Un, il vient

    (1) Wn+1=1+1/Wn

    Tu as montré que cette suite est croissante et bornée, donc elle converge.

    Pour trouver la limite, il suffit de remplacer Wn par l dans l'équation (1)
     

  12. -Zweig-

    Date d'inscription
    septembre 2007
    Âge
    27
    Messages
    825

    Re : Suite de Fibonacci

    Plus généralement :



    pour tout
     

  13. -Zweig-

    Date d'inscription
    septembre 2007
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    27
    Messages
    825

    Re : Suite de Fibonacci

    D'autres résultats autour de Fibonacci :

    1)

    2)

    3)

    4)

    5)

    6)

    7)

    8)

    9) si divise ( et des entiers naturels non nuls), alors divise

    10)

    ----------------------------------------

    a) Soient et des entiers tels que et vérifiant :



    Déterminer le maximum de

    b) Soit la suite définie par : , , , et :

    Montrer que pour tout , est un multiple de .

    c) Montrer que pour tout , n'est pas un nombre premier.

    Tu as de quoi faire .
     

  14. CM63

    Date d'inscription
    juin 2006
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    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Plus généralement :



    pour tout
    En effet, je n'y avais pas pensé.
     

  15. CM63

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    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Si on veut rester au niveau terminale, la méthode de Zweig me semble délicate, et il n'est pas nécessaire de passer par la formule qui donne l'expression exacte de Un:

    On sait que Un+2=Un+1+Un
    On peut diviser tout par Un+1 qui n'est jamais nul.

    En posant Wn=Un+1/Un, il vient

    (1) Wn+1=1+1/Wn

    Tu as montré que cette suite est croissante et bornée, donc elle converge.

    Pour trouver la limite, il suffit de remplacer Wn par l dans l'équation (1)
    Bien vu, ta démonstration est "économique", pas besoin d'aller taper un niveau très élevé en math.
     


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