Suite de fibonacci

[John]

Bonjour,

J'ai rencontré ce resultat, mais pas de démonstration convenable a mon gout :

Soit Fn la suite telle que Fn = Fn-1 + Fn-2 (pour n>=2 ) (c'est la suite de fibonacci) avec F1= 1 et F2= 1

la limite de
Fn = Phi (nombre d'or ) quand n tend vers + l'infini
Fn-1


Merci de vos réponses

[robert chalavoux]

Futura-Sciences, Forum : Nombre d’or, 4 décembre 2003

Je n’ai pu répondre à votre question plus tôt pour une raison matérielle, je vous demande de bien vouloir nous en excusez.

----Question de John du 15 novembre
---- J'ai rencontré ce resultat, mais pas de démonstration convenable a mon gout :
Soit Fn la suite telle que Fn = Fn-1 + Fn-2 (pour n>=2 )
(c'est la suite de fibonacci) avec F1= 1 et F2= 1
la limite de Fn = Phi (nombre d'or ) quand n tend vers + l'infini Fn-1
Merci de vos réponses----

Bonjour John,

Lorsque vous écrivez :
« Soit Fn la suite telle que Fn = Fn-1 + Fn-2 (pour n>=2 )
(c'est la suite de fibonacci) avec F1= 1 et F2= 1 »

Attention, « Fn » n’est pas une suite mais un nombre. Ce n’est pas (Fn) qui est le nombre Phi. cherché.
Ce n’est pas non plus « la limite de Fn » qui est recherchée mais le RAPPORT de Fn/Fn-1 qui tend vers la valeur du nombre = 1,61803..... nombre irrationnel (qui ne se termine pas, comme Pi) lorsque le « rang » « r » (du nombre de Fibonacci Fn) tend vers l’infini.

Ne pas confondre le « rang » d’un nombre d’une suite de Fibonacci avec le « nombre de Fibonacci » (Fn, de Fibonacci number) qui se trouve à ce rang et qui, lui, dépend uniquement des deux nombres de départ de la suite (voir dossier Nombre d’or) et de son rang « r » qui sera évidement supérieur à 2

il faudrait écrire (Fn,r) = (Fn,r-1) + (Fn,r-2) « r » peut varier de 3 à + l’infini.

Une démonstration consiste à faire tendre « r » vers l’infini (noté «,rinf ») et déterminer, dans ce cas, la limite de (Fn,rinf / Fn,rinf-1), (Fn,rinf-1 / Fn,rinf-2).

Nous pouvons facilement contrôler que pour les rangs « r »= 3 à 10 les rapports (Fn,3 / Fn,2) jusqu’à (Fn,10 / Fn,9) s’approchent très vite de 1,618 . Après, (Fn,100/ Fn,99) et (la suite des autres rapports) ne font qu’affiner la valeur du nombre Fn par ses autres chiffres, derrière la virgule.
Autrement dit lorsque le rang « r » tend vers l’infini (rinf) la différence de deux rapports consécutifs tend vers 0 d’où, à la limite :
-{1}- (Fn,rinf / Fn,rinf-1) = (Fn,rinf-1 / Fn,rinf-2)

Sachant que Fn de rang « r » est égal à la somme des deux Fn précédents nous avons :
Fn,rinf = (Fn,rinf -1) + (Fn,rinf -2) on remplace Fn,rinf dans -{1}- par sa nouvelle expression.

En appelant (Fn,rinf -1) « a » et (Fn,rinf -2) « b », il vient :
-{2}- [(a+b) / a] = a/b d’où l’on tire a2 = b(a+b) avec le produit des extrêmes et des moyens
ou encore, l’équation classique : a2 = ab + b2 où, en divisant chaque membre par b2 il vient
-{3}- (a/b)2 = (a/b) + 1
Le rapport a/b ne peut être que  puisqu’il vérifie 2 =  + 1, une définition du nombre d’or (fichier p7).

(Il était possible aussi de calculer la racine de a2 - ab - b2 = 0 qui est (1+racine de 5) /2 = 1,618... = 

Il existe d’autres démonstrations comme celle de Christian Hakenholz page 33 de son livre « Nombre d’or et Mathématique » Chalagam 2001. Elle est rigoureuse et vous conviendra sans doute.
Si vous n’avez pas ce livre, voir cette page (ici) ou l’acquérir à la boutique.

Très cordialement,
Robert Chalavoux