Intégrale simple...pas pour moi

[juan]

Salut!
J'ai posté ce message en section physique, et j'ai eu une réponse ,mais pas celle attendue, je me dis que j'aurais dû poster ici, il s'agit plus de maths que de méca:

Je cherche le détail du calcul du premier terme de la matrice de l'opérateur d'inertie d'une sphère centrée à l'origine, soit:
Intégrale, sur la sphère, de (y²+z²)dM, avec je crois :
dM : s.dS , s = densité surfacique = M/(4*Pi*R²)
dS = élément de surface.
J'ai essayé en coordonnées sphériques, mais j'ai des problèmes en intégration.
Pour mémoire, le résultat recherché est égal à:
2*M*R²/3.

Merci!

PS:ce doit être de la méca de deug de maths, si mes souvenirs sont bons.
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[Gwyddon]

bonjour,

voici comment on fait lorsque l'on calcule sans l'astuce proposée dans le forum physique :

en coordonnées sphériques on a

On a aussi sur la sphère

Ainsi,

Donc
Maintenant, je te laisse conclure, c'est un calcul aisé

Ceci dit, la meilleure méthode à retenir est celle proposée dans le forum physique, car elle tient compte de la symétrie du problème.

@+

julien

[juan]

bonjour,

voici comment on fait lorsque l'on calcule sans l'astuce proposée dans le forum physique :

en coordonnées sphériques on a

On a aussi sur la sphère

Ainsi,

Donc
Maintenant, je te laisse conclure, c'est un calcul aisé

Ceci dit, la meilleure méthode à retenir est celle proposée dans le forum physique, car elle tient compte de la symétrie du problème.

@+

julien

Salut!
Et merci beaucoup d'avoir pris le temps du détail, j'apprécie.

Moi j'ai écrit :


et je ne pige pas pourquoi tu prends pour deuxième côté de l'élément de surface le projeté de sur le plan (Ox,Oy).
C'est idiot, je le sens, mais voilà, ça tique.
Merci.

[Gwyddon]

ok je vois maintenant pourquoi tu n'arrivais pas à calculer ce moment d'inertie.
C'est un problème de définition des coordonnées sphériques. Je vais essayer d'être le plus clair, mais le mieux serait que tu lises un cours sur les coordonnées sphériques (tu auras les dessins, c'est plus facile pour comprendre).

Prenons le cas du cercle. Tu sais que le périmètre du cercle de rayon R est . Maintenant, que vaut le déplacement élémentaire sur ce cercle ? Une règle de 3 te donne

Maintenant, dans le cas de la sphère, il faut identifier les trajectoires parcourues lorque l'on fixe 2 des 3 coordonnées, et cela te permet de trouver dS.

Ainsi, si je fixe R (pour être sur la sphère) et , je décris un cercle de rayon R, donc

Mais pour avoir une surface élémentaire, il me faut décrire le second élément de longueur. Je fixe donc R, et je regarde quelle est la trajectoire de mon point courant. Je décris aussi un cercle, mais son rayon est alors la projection sur (O,x,y), donc , donc cette fois on a

On rassemble le tout et on a

Maintenant tu préfères peut-être une présentation plus mathématiques (encore que, je trouve cette présentation plutôt rigoureuse et assez intuitive), alors tu as les formules suivantes reliant les coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques :

puis tu appliques dS = dx dy.

@+

julien

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

pardon,

pour la fin tu dois calculer le jacobien du changement de variable (et non dS=dx dy), c'est à dire le déterminant de la matrice jacobienne (je te laisse chercher sur le net si tu ne sais pas ce que c'est)

[juan]

Et bien je ne crois pas qu'une autre réponse aurait pu être plus limpide et détaillée.C'est exactement le genre de réponse que j'attendais.
Merci mille fois.