utilisation des integrales de riemann

lyotee · 27/07/2009 - 19h30

SAlut ! je cherche une preuve de cette lemme :

merci !! PS je ne comprends encore pas une chose lnx n'est pas continue en 0 mais elle est integrable en ]0,1] ???? comment ca se fait ???merci encore les amis !!

AbouAntoun · 27/07/2009 - 20h24

Il s'agit ici d'intégrales impropres:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_impropre
Ce lemme est un simple résultat de comparaison de f avec x^s au voisinage de 0

lyotee · 28/07/2009 - 10h56

salut ! je ne comrends encore pas bien !! bon pour demontrer qu une fonction est integrable sur une intervalle I soit on demontre qu'elle est continue soit on demontre que son integrale sur un sous segment de I est majoree !
est ce que c'est vrai ???? merci !!!

Thorin · 28/07/2009 - 11h28

les 2 sont faux

lyotee · 28/07/2009 - 13h36

tu sais thorin ca ne ma pas beaucoup aidé ce que tu as dis ....

AbouAntoun · 28/07/2009 - 20h40

Bon, déjà la fonction f(x)=1/x est continue sur l'intervalle ]0,1] mais n'est pas Riemann intégrable sur [0,1].

AbouAntoun · 28/07/2009 - 20h45

Je crois cependant que si une fonction est POSITIVE et Riemann intégrable sur TOUT intervalle de la forme [a,1] avec a>0 et que TOUTES ces intégrales soient bornées par la MEME borne alors l'intégrale impropre de la fonction sur [0,1] existe.

KerLannais · 29/07/2009 - 00h23

Bonjour,

Par définition, si $f$ est une fonction d'un intervalle $]a,b]$ dans $\mathbb{C}$ qui est riemann intégrable sur tout segment $[c,b]$ avec $c\in]a,b]$ , l'intégrale de Riemann impropre de $f$ sur $]a,b]$ est égale, si la limite existe, à:
$\lim_{c\rightarrow a^+}\int_c^bf(x)dx$
et donc le critère que tu as donné est en effet suffisant mais pas forcément nécessaire. Par exemple, si on regarde la fonction $f(x)=-\ln(x)$ qui est positive sur $]0,1]$ et soit $a\in]0,1]$ , Comme :
$\lim_{x\rightarrow0}\sqrt{x} \ln(x)=0$
La fonction $g(x)=-\sqrt{x}\ln(x)$ est prolongeable par continuité en $0$ et elle est donc bornée en tant que fonction continue sur un segment, c-à-d qu'il existe une constante strictement positive $C$ telle que pour tout $x\in[0,1]$ on a
$|-\sqrt{x}\ln(x)|\leq C$
En fait, comme $g$ est positive on a:
$0\leq-\sqrt{x}\ln(x)\leq C$
Ainsi:
$\int_a^1-\ln(x)dx=\int_a^1\frac{1}{ \sqrt{x}}(-\sqrt{x}\ln(x))dx\leq C\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx$
Par ailleurs on a:
$\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=[2\sqrt{x}]_a^1=2-2\sqrt{a}\leq2$
finalement:
$\int_a^1-\ln(x)dx\leq2C$
on a bien majoré les intégrales de $f$ sur les segments de la forme $[a,1]$ avec $a\in]0,1]$ par une constante indépendante de $a$ . J'ai fait la démonstration du lemme dans un cas particulier mais le cas général est tout aussi simple.