utilisation des integrales de riemann

[invitea34c6e6a]

SAlut ! je cherche une preuve de cette lemme :

merci !! PS je ne comprends encore pas une chose lnx n'est pas continue en 0 mais elle est integrable en ]0,1] ???? comment ca se fait ???merci encore les amis !!
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[invitea0b22930]

Il s'agit ici d'intégrales impropres:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_impropre
Ce lemme est un simple résultat de comparaison de f avec x^s au voisinage de 0

[invitea34c6e6a]

salut ! je ne comrends encore pas bien !! bon pour demontrer qu une fonction est integrable sur une intervalle I soit on demontre qu'elle est continue soit on demontre que son integrale sur un sous segment de I est majoree !
est ce que c'est vrai ???? merci !!!

[Thorin]

les 2 sont faux

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea34c6e6a]

tu sais thorin ca ne ma pas beaucoup aidé ce que tu as dis ....

[invitea0b22930]

Bon, déjà la fonction f(x)=1/x est continue sur l'intervalle ]0,1] mais n'est pas Riemann intégrable sur [0,1].

[invitea0b22930]

Je crois cependant que si une fonction est POSITIVE et Riemann intégrable sur TOUT intervalle de la forme [a,1] avec a>0 et que TOUTES ces intégrales soient bornées par la MEME borne alors l'intégrale impropre de la fonction sur [0,1] existe.

[KerLannais]

Bonjour,

Par définition, si est une fonction d'un intervalle dans qui est riemann intégrable sur tout segment avec , l'intégrale de Riemann impropre de sur est égale, si la limite existe, à:

et donc le critère que tu as donné est en effet suffisant mais pas forcément nécessaire. Par exemple, si on regarde la fonction qui est positive sur et soit , Comme :

La fonction est prolongeable par continuité en et elle est donc bornée en tant que fonction continue sur un segment, c-à-d qu'il existe une constante strictement positive telle que pour tout on a

En fait, comme est positive on a:

Ainsi:

Par ailleurs on a:

finalement:

on a bien majoré les intégrales de sur les segments de la forme avec par une constante indépendante de . J'ai fait la démonstration du lemme dans un cas particulier mais le cas général est tout aussi simple.

[invitea0b22930]

Merci Kerlannais pour cette mise au point définitive.
Il me semble que lyotee a maintenant tout ce qui lui faut.

[invitea34c6e6a]

effectivement abouantoun vous m'avez aider a enlever l'ambiguité je vous remercie vous,M.kerlannais du fond de mon coeur merci encore et encore et merci aussi a thorin !! et A+