intégration par partie généralisée

[inviteda11c2a7]

Bonjour,
je dois démontrer la formule suivante : cf pdf
J'ai donc utilisé la formule de la dérivée d'un produit (uv)' = uv' + u'v et la formule de Leibniz mais je suis bloquée par le passage à l'intégration et par les coefficients binomiaux.... et je ne vois pas d'où viennent les (-1)^n.....
Merci de m'aider dans cette démo svp
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[inviteaf1870ed]

Essaye de faire deux intégrations par parties successives pour voir d'où viennent les coefficients binomiaux, et le (-1)^n

Puis ça me semble immédiat par récurrence, non ?

[invitebe08d051]

Puis ça me semble immédiat par récurrence, non ?

Je confirme, la démo ne tient qu'en deux lignes.

[inviteda11c2a7]

merci, je n'avais pas pensé à la récurrence
cependant, je n'arrive pas à conclure pour l'hérédité
je pars de :
puis j'utilise l'hypothèse de récurrence (la formule du pdf) mais je me retrouve avec du dans la dernière intégrale plutot que du

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

dans la formule de départ Int f⁽ⁿ⁺¹⁾g(t)dt
Tu poses u'=f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) et v=g(t)

Alors tu as en intégrant par parties :

Int f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)g(t)dt=[f⁽ⁿ⁾g]-Int f⁽ⁿ⁾(t)g'(t)dt

Tu appliques ton hypothèse de récurrence à f⁽ⁿ⁾ et g' et ça vient tout seul

[inviteda11c2a7]

merci beaucoup

[invitecd2cbbd0]

Bonjour à tous,

Je suis sur la démonstration. Au niveau de la conclusion en utilisant l' hypothèse de récurrence, je n' ai pas bien
compris.
[f(n)g] n' est pas égal à int f(n)g
Int f(n+1)g(t)dt n' est pas identifiable non plus à int f(n)g.
Merci de votre aide.

[invitecd2cbbd0]

Sauf erreur de ma part on ne peut pas appliquer l' hypothèse de récurrence à

Int f(n)(t)g'(t)dt

mais plutôt à Int f(n)(t)g(t)dt