croissance et continuite

[invite5c34746f]

Bonjour,

j'ai a justifier si cette affirmation est vraie ou fausse. Mais je ne sais pas comment démarrer.


si une fonction f croissante sur R alors f est continue sur R

Merci
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[S321]

Une fonction croissante c'est que si x>=y alors f(x)>=f(y). Il n'y a pas du tout besoin de la continuité pour avoir cette propriété. Si tu ne connais pas de fonctions qui soit un contre-exemple tu peux toujours en fabriquer une point par point.
Bien sûr tu ne pourras pas utiliser la dérivée pour justifier de la croissance, puisqu'une fonction non continue est non dérivable.

[thepasboss]

Bonjour, j'aurai une question d'un genre un peu différent :

est se que la propriété suivante est vraie : "si f est croissante de [0,1] dans R, alors elle est continue presque partout sur [0,1]" ? C'est juste une question que je viens de me poser ^^'

[Garf]

Oui ; en fait, les points de discontinuité seront en nombre au plus dénombrable.

Soit une telle fonction.

Posons, pour , .

Par définition, et étant croissante, est continue en si et seulement si pour tout , il existe un tel que , i.e. si et seulement si .

De même, l'ensemble des points de discontinuité de est

Soit . Supposons que contienne au moins points.
Alors on peut trouver tel que ces points soient tous à distance au moins les uns des autres, et augmente d'au moins au voisinage de chacun de ces points (voisinage de rayon ).
On a alors : c'est absurde.

Donc l'ensemble des points de discontinuité de est union dénombrable d'ensembles finis, donc est dénombrable. En particulier, il est de mesure de Lebesgue nulle et maigre au sens de Baire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[thepasboss]

Merci beaucoup Garf !

Mais une question me turlupine, tu n'aurais pas intervertis le sup et l'inf dans la définition de ton ensemble ?

[Garf]

Ah, oui... Bon, pas que ce soit grave. Merci de le faire remarquer.