Bonjour,
Il m'est demandé dans cet exercice d'estimer l'erreur de la formule de quadrature composée que j'ai établie aux questions précedentes. Or je ne vois pas tellement comment faire.
Mais avant tout voici l'exercice en question et mes résultats :
1/Construire le polynome d'interpolation d'Hermite P verifiant :
P(0)=f(0)
P(1)=f(1)
P'(1)=f'(1)
Je trouve : P(x)=(f(0)-f(1)+f'(1))x² +(2f(1)-2f(0)-f'(1))x+f(0)
2/Donner une estimation de l'erreur |f(x)-P(x)| valable pour tout x ds [0;1]
Je trouve : Il existe eta dans [0;1] tel que |f(x)-P(x)|=|f'''(eta)|x(x-1)²/6
3/Calculer l'integrale de 0 à 1 de P
Je trouve : 1/3(f(0)+2f(1)-1/2f'(1))
Quel est l'ordre de la formule de quadrature ainsi obtenue ?
Je trouve : 2
4/ MOntrer que |(integrale de 0 à 1 de f)-integrale de 0 à 1 de P|inférieur ou égal à (C Sup|f'''(x)|) pour x dans [0;1] et C constante
RQ : C =1/72
5/ En deduire une formule de quadrature composée pour le calcul de l'integrale de a à b de g(t)dt sur une subdivision uniforme de [a;b]
Je trouve : l'integrale de a à b de g(t)dt =(à peu près) ((b-a)/3n)* Somme de k =0 à n de [g(t_k)+2g(t_k+1)-1/2g'(t_k+1)]
6/ Donner une estimation d'erreur pour cette formule de quadrature composée en supposant g de classe C3
C'est cette question qui me pose problème :
Faut-il utiliser la question 4 et effectuer un changement de variable pour tomber sur une expression de la meme forme avec des integrales de a à b ? (j'ai essayer avec differents changements de variable, mais visiblement ça ne marche pas)
Ou faut-il se contenter du resultat du cours :
|E_alpha,beta (f,h)|<(ou égal) Max|f''(x)|(beta-alpha)h²/12 pour x dans [alpha;beta] Où h est le pas, E l'erreur ?
Merci de votre precieuse collaboration
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dans [0;1] tel que