Groupe non isomorphe

[Kami142108]

Bonjour, je suis en deuxième année de licence de maths et je suis bloquée bêtement à une question d'algèbre.
Je cherche deux groupes non isomorphes tels que |G1|=|G2|=4
J'espère que vous pourrez m'aider

[Erik_314]

Bonsoir,
tu peux par exemple montrer que Z/4Z et Z/2Z x Z/2Z ne sont pas isomorphes (l'un est cyclique et pas l'autre) et pourtant ils sont tous les deux de cardinal 4.
En fait, tu peux même montrer que ce sont les deux seuls groupes de cardinal 4 à un isomorphisme près.
En espérant t'avoir aidé
Erik

[Kami142108]

Oui merci c'était ce que j'avais trouvé tout à l'heure mais je ne sais pas exactement comment le formuler.
Par contre j'aurai également voulu savoir comment trouver tous les sous-groupes de ces deux groupes parce qu'en faite mon professeur d'algèbre nous a donné ces exercices mais il ne nous a pas donné tout le cours qui aille avec car pour lui c'est du acquis (ce qui est faux si on n'a pas pris une option spécifique en première année comme moi)

[Erik_314]

Bonjour,
ici pour trouver les sous-groupes, Lagrange est ton ami !
Comme tu as un groupe initial d'ordre 4, le cardinal des sous-groupes éventuels divise 4, donc vaut 1, 2 ou 4.
En écartant les cas triviaux où le cardinal vaut 1 ou 4, tu cherches les sous-groupes d'ordre 2.
Par exemple dans Z/4Z, il y a un et un seul sous-groupe d'ordre 2 qui est le sous-groupe engendré par la classe de 2.
Je te laisse faire l'autre.
Erik