Dérivée de fonctions composées.

[invitefffb8ef1]

Voi la j'aimerai démontrer que et je vois pas du tout ce qu'il faut faire.
p.s:La démonstration doit rester à niveau TS.
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[invite58081e51]

Tu dois vouloir dire (fog)'.
Bon, ben je te proposerai de passer par une limite du taux d'accroissement dans le cas d'une fonction dérivable tout d'abord
Dis moi si ça marche!

[martini_bird]

Salut,

je te recommande plutôt d'utiliser cette définition du nombre dérivé:
f est dérivable en a s'il existe un réel et une fonction telle que et

[g_h]

On veut dériver (vou)

Il faut poser X = u(x)
Si u est dérivable en x :
Si v est dérivable en X :

Avec les epsilon qui tendent vers 0 quand h ou k tendent vers 0

Ensuite, ça se fait par substitution, tu calcules v(u(x+h)) en faisant "sortir" le h comme j'ai fait plus haut, ça fait apparaître le k, que tu peux ressortir de v toujours de la même façon, et ça finit par te donner une expression :
(la fonction est un gros paté de fonctions qui tend vers 0 en 0)

Ensuite tu retranches , tu divises par h, tu fais tendre h vers 0, et tu as le nombre dérivé en fonction de x, soit la fonction dérivée de

(c'est dans mon cours, et je suis en TS... mon prof m'a dit qu'il fallait savoir cette démo pour le bac, se serait-il trompé ?)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefffb8ef1]

merci pour ces réponses. C'est parce que j'ai vu ton post g_h sur les démonstrations à savoir pour le bac que j'ai essayer de démontrer ça lol. Oui je crois que faut savoir la retrouver celle la.

[Père Occide]

Bonsoir.
Par définition, (fog) (x) = f[g(x)].
Alors la dérivée au point x0 s’écrit :
(fog)’(x0) = lim (f[g(x)] – f[g(x0)])/(x-x0) quand x tend vers x0.
Or :
(f[g(x)] - f[g(x0)])/(x-x0) =
(f[g(x)]-f[g(x0)])/(g(x)-g(x0)) * (g(x)-g(x0))/(x-x0).
En passant à la limite :
(fog)’(x0) = f’[g(x0)] * g’(x0), soit (f’og)(x0) * g’(x0).
Je te laisse préciser les conditions que doivent vérifier f et g pour que leur composée soit dérivable.

[g_h]

Oh, mais c'est beaucoup plus simple que ce que j'ai proposé !
Merci

[martini_bird]

Oh, mais c'est beaucoup plus simple que ce que j'ai proposé !
Merci

Néanmoins, ta méthode se généralise beaucoup mieux et pose en fait moins de problème.

En effet, dans la méthode de Père Occide, il faut démontrer que g(x)-g(x0) ne s'annule pas autour de x0, ce qui n'est pas si évident...

[g_h]

Hmm, c'est vrai, je n'avais pas pensé à ça...
Néanmoins, quel critère permettrait d'utiliser cette méthode ? Démontrer que g n'est pas constante sur tout intervalle du type ]x0-h;x0+h[ (h réel positif) ?

(ce qui reviendrait à faire un calcul de dérivée si je ne me trompe pas... )

[martini_bird]

En effet, et celà se complique, car rien n'interdit que g soit constante ou localement constante et par ailleurs rien ne dit que g est dérivable ailleurs qu'en x0...

[g_h]

En effet, et celà se complique, car rien n'interdit que g soit constante ou localement constante et par ailleurs rien ne dit que g est dérivable ailleurs qu'en x0...

Mais la dérivabilité de g pour tout x0 de l'intervalle choisi est aussi requise pour la première démonstration (car on utilise le fait que g(x+h) = g(x) + h*g'(x) + h*eps(h) )
Donc en fait, il resterait à prouver que g n'est pas constante sur tout intervalle appartenant à l'intervalle choisi.
Puis conclure en séparant les 2 cas g constante / g pas constante en montrant que la formule trouvée marche dans les 2 cas.
Est-ce que ça irait ?

je m'entête car l'autre méthode marche bien, mais elle reste assez bourrine : on se retrouve avec des expressions énormes...

[martini_bird]

Mais la dérivabilité de g pour tout x0 de l'intervalle choisi est aussi requise pour la première démonstration (car on utilise le fait que g(x+h) = g(x) + h*g'(x) + h*eps(h) )

En fait non: ça veut dire que g est dérivable en x0. Rien n'est précisé pour les autres points (définition au message #2): c'est une notion locale. Après, une fonction est dite dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en chaque point de I.

Donc en fait, il resterait à prouver que g n'est pas constante sur tout intervalle appartenant à l'intervalle choisi.
Puis conclure en séparant les 2 cas g constante / g pas constante en montrant que la formule trouvée marche dans les 2 cas.
Est-ce que ça irait ?

Ca fontionne si tu supposes g dérivable sur un intervalle autour de x0, modulo quelques précisions (une fonction peut être localement constante).

je m'entête car l'autre méthode marche bien, mais elle reste assez bourrine : on se retrouve avec des expressions énormes...

Sauf que l'on se fiche des fonctions epsilon: on contrôle leur comportement, c'est le principal.