Prouver l'existence de limites.

[antoineg]

Bonjour,

J'ai une série d'exercices à faire, une introduction au calcul de limites de fonctions.
la série: http://iacs.epfl.ch/~flueck/exos_an1...erie_06_me.pdf .

Je ne parviens pas à faire les exercices 1 et 3.



En fait, je ne comprends pas vraiment ce qu'il faut faire pour démontrer l'existence d'une limite, ou montrer qu'une fonction admet une limite en un point.

Quels sont les critères qui me permettent de démontrer cette existence?

autre question: dit on qu'une fonction admet une limite si elle diverge vers l'infini? je ne crois pas?


Si vous pouviez m'éclairer quand à la signification de l'existence d'une limite...

Merci beaucoup!
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[ericcc]

Pour le 1/ tu dois chercher lim x->a f(x) où a est dans A

Pour le 3/ si tu connais les DL, il n'y a plus qu'à ...

[antoineg]

Pour le 1/ tu dois chercher lim x->a f(x) où a est dans A

Pour le 3/ si tu connais les DL, il n'y a plus qu'à ...

Hum...

Pour le 1, je ne comprends pas comment tu calcules cette limite: quelle expression de f(x) tu utilises pour calculer la limite? f(x) = O ou f(x) = xsin(1/x) ? pourquoi?
Et le fait de trouver cette limite démontre qu'elle existe?
Il me semble que demontrer que la limite existe et la calculer sont deux questions differentes.

pour le 3, je n'ai pas encore étudié les DL.

merci d'avoir répondu si vite

[antoineg]

Bonjour, n'ayant toujours pas fini l'exercice 1 de cette série je me permets de reposter.


Pour la première question, je vois qu'en faisant tendre X vers a (appartenant à A), que x soit rationnel ou non ne change pas la limite, la fonction tend vers 0.
L'ennuis c'est que je ne sais pas trop comment rédiger ça:

lim x-->a f(x) = 0 si x rationnel. // ou// 0 si x irrationnel, car lim xsin(1/x) =0

donc, x-->a lim f(x) = 0


Pour la deuxieme par contre, si x tend vers 0, il se passe la même chose, la limite est 0 si x est rationnel, mais si il appartient à A, alors il y a un "saut" vers 1.
puis-je dire que A semble dense dans R et que cet ensemble ne change pas la limite?

Merci de bien vouloir m'expliquer

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

Pour la première la limite est effectivement 0 : si x est rationnel f(x)=0, sinon la limite est zéro.

Pour la deuxième, il y aura toujours un élément de A dans tout voisinage de 0, donc aussi près que tu sois de 0, il y aura toujours un point a tel que f(a)=1...cela est il compatible avec ce que tu sais des limites ?
Par contre A n'est absolument pas dense dans R ! Il n'y a pas d'éléments de A plus grands que 1/pi....

[antoineg]

J'ai réussis à demontrer rigoureusement la première question à l'aide d'une suite convergente, ça m'a aidé à dissocier les deux cas où x est rationnel ou non.

Pour la deuxième, oui, je vois, il n'y a pas de rang N tel qu'à partir de celui-ci tout les points de la fonction sont aussi proches que je veux de 0, vu qu'il y aura toujours au moins un élément de A tel que f(a)=1 après N.
Je vais essayer de faire des epsilonades et montrer qu'un tel rang n'existe pas.

Merci beaucoup!

ps: pour la densité, je dois me tromper de sens.