integrale de lebesgue

[invitec69d9803]

svp comment montrer l'unicité de l'ecriture de l'integrale d'une fonction positive etagée?merci bcp pour votre precieux aide
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[KerLannais]

Bonjour,

Formulée comme tu l'as formulée je ne comprend pas ta question. Je suppose que ce que tu veux montrer c'est que la valeurs de l'intégrale de Lebesgue qu'on associe à une fonction étagée (qui se définit à partir d'une des écriture de la fonction étagée comme somme de fonctions indicatrices) ne dépend pas de l'écriture qu'on a choisit.

Autrement dit, si je prends
(j'utilise la convention que )
un espace mesuré
deux à deux disjoints
et je suppose que:
(1)
où je note la fonction indicatrice de l'ensemble (l'égalité est au sens des fonctions de dans , ce n'est pas une égalité presque partout, mais ce n'est pas difficile de généraliser au cas d'une égalité presque partout).
La question c'est:
a-t-on :
(2)?
Si c'est bien ça la question, la réponse n'est pas très compliquée. D'abord, quitte à remplacer par , poser et

On peut toujours supposer que:

(les égalités (1) et (2) sont inchangées puisqu'on ne fait que rajouter des termes nuls). De même on peut supposer que:


Posons, pour et ,

ce sont nécessairement des ensembles mesurables deux à deux disjoints. Par ailleurs on a, pour :
(réunion disjointe)
et donc

et de même, pour

par ailleurs, si (à supposer qu'il soit non vide) alors . Si est vide on pose (puisque de toute façon ). On aura:

pour

pour .
Au final on aura donc:

Pour la généralisation au cas où (1) n'est vérifiée que presque partout, il suffit de remarquer que dans ce cas il existe tel que et tel que

En posant
pour
pour
l'égalité

est vraie partout et donc d'après ce qui précède on a

Pour conclure il faut remarque que pour on a:

puisque
Ainsi on peut enlever les tildes dans l'égalité précédente et le tour est joué

[invitec69d9803]

oui c tout a fait la reponse que je cherché,merci beaucoup pour votre aide je ne sai po comment vous remercier,encore merci