Bonjour,
Les complexes ne sont-il qu'un ensemble de couples de réels muni d'une structure de corps ?
Le théorème D’Alembert-Gauss
Leur dualité algébrique/géométrique
Ne sont il pas des éléments qui permet de différencier les complexes d'un ensemble de couples de réels muni d'une structure de corps ?
Patrick
Les complexes sont (isomorphe à) l'ensemble des couples de réels munis de deux opérations spécifiques (cà c'est une façon de les définir en donnant un modèle) qui lui confèrent une structure de corps algébriquement clos ; c'est d'ailleurs la cloture algébrique de IR, c'est aussi le seul (à isomorphisme près) corps algébriquement clos de caractéristique 0 et de cardinalEnvoyé par ù100fil
(ça c'est une façon de les définir à l'aide d'une axiomatique du premier ordre).
D'Alembert-Gauss = Algébriquement clos
dualité algébrique/géométrique = interprétaion, on pourrait dire la même chose de IR
Dernière modification par Médiat ; 19/11/2009 à 23h49.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Salut !
dès que tu as un corps K inclu dans un autre corps L, ca met automatiquement une structure de K espace vectoriel sur L, donc pour peu que L soit de dimension fini sur K, tu peux toujour voir L comme un ensemble de "n-uplet" d'element de K munie d'une loi de corps. bref, quoiqu'on fasse toute extension de R, sera plus ou moins de ce genre là...
deplus, on peut prendre une loi completement différente : par exemple je pourais poser (a,b)*(a',b') = (aa'-bb',ab'+ba'-bb' ) exercice : montre que c'est encore une loi de corps sur R², et le corps obtenue est isomorphe à C
bref, oui on peut dire que "C c'est juste une loi de corps sur les couple de réel" mais c'est beaucoup plus profond que cela : c'est la seul extension algébrique de R, et de ce fait, c'est la cloture algébrique de R (d'alembert Gauss).
Algébriquement clos de caractéristique 0 ? Je ne comprends pas. J'ai appris simplement qu'il s'agissait d'un corps de dimension 2.Les complexes sont (isomorphe à) l'ensemble des couples de réels munis de deux opérations spécifiques (cà c'est une façon de les définir en donnant un modèle) qui lui confèrent une structure de corps algébriquement clos ; c'est d'ailleurs la cloture algébrique de IR, c'est aussi le seul (à isomorphisme près) corps algébriquement clos de caractéristique 0 et de cardinal
D'Alembert-Gauss = Algébriquement clos
dualité algébrique/géométrique = interprétaion, on pourrait dire la même chose de IR
Je ne comprends pas ce que vous ne comprenez pas :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_a...riquement_clos
http://fr.wikipedia.org/wiki/Caract%..._d%27un_anneau
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
On peut donc affirmer que tous ce que l'on peut dire (les propriétes) sur IRxIR (muni des opérations add-on) on peut aussi le dire sur C ? Dans le sens ou toutes les propriétés des nombres complexe ont des propriétés duales dans plan affine euclidien (M point image du complexe z) ou dans le plan vectoriel (V vecteur image du complexe z) correspondant (et indépendante du repère)Les complexes sont (isomorphe à) l'ensemble des couples de réels munis de deux opérations spécifiques (cà c'est une façon de les définir en donnant un modèle) qui lui confèrent une structure de corps algébriquement clos ; c'est d'ailleurs la cloture algébrique de IR, c'est aussi le seul (à isomorphisme près) corps algébriquement clos de caractéristique 0 et de cardinal
D'Alembert-Gauss = Algébriquement clos
dualité algébrique/géométrique = interprétaion, on pourrait dire la même chose de IR
Par exemple le module du nombre complexe z coïncide avec la norme associée au produit scalaire.
De plus le corps complexe est aussi un espace vectoriel sur IR : IR x C --> C
(
Soit l'application C x C dans IR qui à (z1,z2) fait correspondre <z1 | z2> = a1a2 + b1b2 avec zk = ak + ibk
Qui est un produit scalaire sur le plan C. C devient alors un plan vectoriel euclidien, mais aussi un plan affine euclidien avec la distance d(z1,z2) = |z1 - z2|
A son tour le produit scalaire <z1 | z2> est la partie réelle du produit hermitien sur C considéré comme espace vectoriel complexe.
...
Ce n'est donc qu'un ressenti (les complexes ne sont pas qu'un simple couple de réel muni d'opérations add-on) qui ne se traduit pas par une "réalité" mathématique.
Patrick
La définition est trés intéressante. Existe t-il des corps pour lesquels le cardinal est différent de zéro ? Ce n'est ni le cas du corps des réels, ni le cas du corps des nombres complexes.
Cordialement,
Des structures isomorphes sont a fortiori élémentairement équivalentes.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je suppose que vous voulez-dire de caractéristique différente de 0, la réponse est oui, pour tout p premier il existe des corps de caractéritique p Fp (c'est à dire Z/pZ) par exemple.
Cordialement
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
tant que tu ne fais pas intervenir la multiplication, C est effectivement comme R^2. La topologie est la même par exemple. Mais dès que tu veux calculer une dérivée (limite d'un rapport, donc le produit intervient), de nouvelles choses apparaissent.
Oui bien entendu.
La différence, si différence il y a, est autre que mathématique. Différence pratique surement par rapport à un usage dans un domaine donné.
Par exemple manipuler un complexe en tant que scalaire l'affranchi du repère (on travaille sur des propriétés invariantes).
En fait c'est cette article http://ddata.over-blog.com/xxxyyy/0/...n-95/F95.3.pdf qui m'a interpelé.
PatrickPour Gauss le concept de domaine complexe est un « domaine supérieur », indépendant de tout concept d’espace a priori. Cependant, c’est un domaine « dans lequel on ne peut se passer d’un langage emprunté à des images spatiales »
Bonjour,
Y aurait-il parmi ces nouvelles choses, des notions qui pourraient gêner un physicien qui reconnait un sens physique à un élément de R^2 mais pas à un élément de C?
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
je ne connais pas très bien la Physique mais il me semble que l'analyse complexe, les espaces hermitiens, etc. sont entrés depuis pas mal de temps dans la boîte à outils des physiciens.
J'avoue ne pas comprendre, la multiplication dont il est question ici est celle qui rend IR² isomorphe à C, je ne vois pas comment une différence pourrait apparaître (à part la façon de dire les choses qui va être plus ou moins simple (plus ou moins "naturelle") dans un cas ou dans l'autre).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
c'est probablement du pinaillage, mais pour un mathématicien, C EST-il
IR2 muni de la multiplication adéquate, ou est-il autre chose ? (une classe d'équivalence de toutes les structures isomorphes? a-t-on le droit de définir ça en axiomatique ?)
Tu me donnes l'occasion de préciser que la question de ù100fil et la tienne sont mal posées (et j'ai fait l'erreur de ne pas réagir).
Si comme je le pense, la question est : est-ce que C(0, 1, +, .) n'est rien d'autre que IR²((0, 0), (1, 0), +, .), alors je vois mal comment on peut répondre "non".
Comme je l'ai dit, il y a plusieurs façons de définir C(0, 1, +, .), la première consiste à définir l'isomorphisme avec IR²((0, 0), (1, 0), +, .) ce qui impose de répondre "non" à la question précédente, la deuxième consiste à dire que C(0, 1, +, .) est un corps algébriquement clos de caractéristique 0 et de cardinal
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
peut-être que j'ai mal compris alors. Je pensais que u100fil ne voyait pas ce que C avait de plus que l'espace vectoriel R^2. Mais effectivement, munir R^2 de la multiplication idoine en fait C, ni plus ni moins.
Et je voulais attirer l'attention de u100fil sur le fait qu'il ne faut pas confondre une fonction de C dans C avec une fonction de R^2 (l'espace vectoriel réel) dans R^2 (je ne précise pas cela pour Médiat).
ben pourquoi puisque c'est la même chose ? le fait que tu aies défini une autre multiplication interne ne change rien à la fonction...les topologies sont les mêmes en particulier.
elles n'ont pas la même dérivée.
Le terme "boite à outil" est effectivement particulièrement bien choisi.
La quasi-totalité des physiciens qui s'expriment sur le forum de physique reconnaissent un sens physique à un élément de R^2 mais deviennent très nerveux si on leur demande de reconnaître un sens physique à un élément de C.
Pour simplifier le propos : Les réels sont réels. Les complexes ne sont qu'un outil.
Comme C=R^2, j'ai du mal avec le point de vue des physiciens.
Je me disais que ce qui rebutait les physiciens à considérer C comme R^2(multiplication qui va bien) était peut-être contenu dans cette remarque?
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
donner un sens physique à un objet mathématique, pour moi ça n'évoque rien, je suppose que c'est une expérience personnelle et incommunicable...
c'est quoi la dérivée par rapport à R^2 ?
que la structure multiplicative de IC te permettre de définir une dérivation par rapport à la variable complexe, je suis bien d'accord. Mais la fonction en elle-même, c'est la même.
Je vais regarder pour essayer de comprendre.
C'est tout le problème!
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
la dérivée d'une fonction c'est une application linéaire. Si tu considères une fonction de R^2 dans R^2, sa dérivée en un point, si elle existe, est une application R-linéaire de R^2 dans R^2. Si tu identifies R^2 à C en identifiant sa base canonique à (1,i), tu peux interpréter la fonction comme fonction de C dans C. Mais sa dérivée comme fonction complexe, d'abord peut ne pas exister alors qu'elle existe au sens de R^2, mais surtout est une application C-linéaire. En d'autres termes, dans le premier cas la dérivée peut être vue comme une matrice de type 2x2 quelconque, dans le second cas comme un nombre complexe (qu'on peut représenter par une matrice d'un type particulier d'ailleurs).
comme applications entre ensembles c'est la même (après identification adéquate), mais quand on pense fonction, la dérivée c'est important tout-de-même!que la structure multiplicative de IC te permettre de définir une dérivation par rapport à la variable complexe, je suis bien d'accord. Mais la fonction en elle-même, c'est la même.
Ma question était bien la.
Maintenant l'origine est une interrogation plus large (et encore flou) sur l'existence ou non d'une différence entre les différentes représentations d'un complexe et les propriétés qui en découlent. Ambrosio semble en faire apparaître une.
Patrick
Existerait t-il aussi des différences pour des formes linéaires (produit scalaire en l'occurrence) ?
Patrick
Cela est assez général (on ajoute un élément de langage, donc forcément on peut dire des choses différentes), un exemple encore plus flagrant (il me semble) :
On munit
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Le premier cas s'inscrit dans l'isomorphisme entre l'ensemble des applications linéaires de IR^2 dans IR^2 et l'ensemble des matrices 2x2, espace vectoriel sur le corps IR (M2,2(IR)): application u --> M(u) ?
Avec u appartenant à L(IR^2,IR^2) et M(u) à l'ensemble des matrices 2x2 (M2,2(IR)). A toute application linéaire u de IR^2 (rapporté à une base) dans IR^2 (rapporté à une base), on fait correspondre une unique matrice de type (2, 2) noté M (u).
Le second cas s'inscrit dans l'isomorphisme entre L(C,C) ensemble des applications linéaires v de C dans C et C : application v ---> z ?
Patrick
C'est déjà une réponse. Les corps isomorphes sont muni d'une application module distincte.
Patrick
Cette façon de dire les choses peut cacher une incompréhenion, alors, au cas où, je ré-écris : Un corps peut être muni de différentes valeur absolues.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
