Bonjour, cliquez-ici pour vous inscrire et participer au forum.
  • Login:



+ Répondre à la discussion
Page 1 sur 3 12 DernièreDernière
Affichage des résultats 1 à 15 sur 35

limite de (ln x) / x

  1. adrislas

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Nantes
    Âge
    27
    Messages
    526

    limite de (ln x) / x

    Bonjour,

    cette question va paraitre idiote, mais je ne me souviens pas comment on démontre rigoureusement ( càd sans dire "ouais x croit plus vite que lnx" ) les valeurs des limite de (ln x)/x aux bornes de définition, c'est à dire [ 0; + infini ]

    pourriez-vous me rappeler la démonstration, avec des outils de terminale S ?


    En vous remerciant


     


    • Publicité



  2. Gwyddon

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Karlsruhe (Allemagne)
    Âge
    29
    Messages
    18 716

    Re : limite de (ln x) / x

    SAlut Adrislas,

    Pour ce qui est de la limite en 0, il n'y a aucun problème, ce n'est pas de la croissance comparée et ça vaut puisque ln tend vers et .

    Pour ce qui est du problème en l'infini, tu peux démontrer par exemple que pour x assez grand.

    Au voisinage de on aura donc avec K la constante ci-dessus, et par comparaison on peut conclure ( étant positive au voisinage de l'infini).

    Julien
    gg --> H --> gamma gamma => Nobel !
     

  3. planck

    Date d'inscription
    janvier 2005
    Localisation
    Paris
    Âge
    26
    Messages
    289

    Re : limite de (ln x) / x

    on se sert de la limite en + infini de exp(x) / x = + infini

    on pose x = exp(X). quand x tend vers inf, X tend vers l'inf.

    limite qd x tend vers l'infini de ln(x)/x = lim qd X tend vers l'infini de ln(exp(X))/exp(X) = X/exp(X); or, cette dernière limite vaut 0, donc on a bien lim ln(x)/x qd x tend vers l'infini qui vaut 0...

    bon, c'est pas très lisible, mais l'idée est là
     

  4. adrislas

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Nantes
    Âge
    27
    Messages
    526

    Re : limite de (ln x) / x

    ta méthode marche Planck, mais c'est remplacer une fonction par une autre. Et heureusement que je sais comment prouver que e^x/x tend vers + l'infini quand x fait de meme

    Quant à ta réponse Julien, je vois bien pour la limite en zéro, mais ta méthode en + l'infini me semble plus compliqué que la méthode que je devrai connaitre en tant que terminale... n'y en a t-il pas une classique ?

    en tout cas merci de vos réponses
     

  5. planck

    Date d'inscription
    janvier 2005
    Localisation
    Paris
    Âge
    26
    Messages
    289

    Re : limite de (ln x) / x

    pour prouver que e^x/x tend vers + infini, on prouve que pour tout x positif, e^x > 1/2*x^2 (en étudiant la fonction e^x-1/2x^2) et on applique le théorème de comparaison à l'infini

    (oui, oui, tu as dit que tu savais coment faire!!)
     


    • Publicité



  6. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    IdF
    Messages
    4 439

    Re : limite de (ln x) / x

    Citation Envoyé par adrislas
    Quant à ta réponse Julien, je vois bien pour la limite en zéro, mais ta méthode en + l'infini me semble plus compliqué que la méthode que je devrai connaitre en tant que terminale... n'y en a t-il pas une classique ?
    C'est classique et ça n'a rien de compliqué:
    pour tout t >= 1:

    tu intègres entre 1 et x, tu divises par x, et tu utilises les gendarmes.
     

  7. adrislas

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Nantes
    Âge
    27
    Messages
    526

    Re : limite de (ln x) / x

    bon, comme les méthodes que vous m'aviez proposé ne me convenaient pas ( elles sont à mon avis au dessus du niveau terminale, pour + l'infini, et peu commodes à rédiger au bac ), j'ai trouvé une petite méthode, mais il me manque une fonction qui tend vers 0 pour encadrer la fonction ln x / x des deux côtés. Je vous l'écris

    soit f(x) = racine de x - ln (x)

    f '(x) = 1/(2*racine de x) -1/x = ( x-2*racine de x )/(2x*racine de x ) = (( racine de x ) - 2)/(2x)

    la dérivée est négative de 0 à 4, s'annule en 4 ,puis positive de 4 à l'infini

    donc f(x) décroit de 0 à 4, puis croit de 4 a + l'infini. La valeur prise en x=4 pour f est 2 - ln 4, qui est positif. F est minorée par ce nombre, donc elle est positive pour tout x de son intervalle de définition.

    On a ainsi : Racine de x > ln x
    (racine de x) / x > ( ln x ) / x car x est positif
    1/ ( racine de x ) > (ln x ) / x
    Or en + l'infini, lim de 1/(racine de x) est égale à 0


    Voilà, il manque juste une fonction qui tend vers 0 et qui est plus petite que ln x/x

    merci de votre aide d'avance
     

  8. adrislas

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Nantes
    Âge
    27
    Messages
    526

    Re : limite de (ln x) / x

    c'est bon je pense avoir trouvé une réponse rigoureuse

    ln x / x est strictement positif en + l'infini car ln x et x tendent vers + l'infini quand x tend vers + l'infini. La limite de lnx/x est donc positive.

    Or j'ai montré précédemment que lnx/x était majorée par une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers l'infini. Donc lnx /x ne peut prendre que 0+ comme valeur pour sa limite en l'infini
     

  9. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    IdF
    Messages
    4 439

    Re : limite de (ln x) / x

    Citation Envoyé par adrislas
    bon, comme les méthodes que vous m'aviez proposé ne me convenaient pas ( elles sont à mon avis au dessus du niveau terminale, pour + l'infini, et peu commodes à rédiger au bac ), j'ai trouvé une petite méthode, mais il me manque une fonction qui tend vers 0 pour encadrer la fonction ln x / x des deux côtés. Je vous l'écris
    Tu fais comme tu veux mais les méthodes proposées sont plus que largement accessibles au niveau terminale (à moins qu'intégrer 1/t soit vraiment trop dur ...), la rédaction en est simplissime et ça nécessite environ 5 lignes.
    Ta méthode est d'ailleurs plus compliquée.
     

  10. adrislas

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Nantes
    Âge
    27
    Messages
    526

    Re : limite de (ln x) / x

    je m'apercçois ( je comprends enfin la méthode de Julien ) que j'ai fais presque la même chose. Mais il n'y a pas un problème dans ta démo julien ? car il ne suffit pas de montrer que lnx/x est majorée par 0 pour montrer qu'elle tend vers 0, il fallait juste ajouter la petite précision que j'ai mis tout à l'heure il me semble...non ? Je vais essayer de bien comprendre la méthode matthias, qui certes marche, mais est loin d'être 'intuitive'
     

  11. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    IdF
    Messages
    4 439

    Re : limite de (ln x) / x

    Citation Envoyé par adrislas
    c'est bon je pense avoir trouvé une réponse rigoureuse

    ln x / x est strictement positif en + l'infini car ln x et x tendent vers + l'infini quand x tend vers + l'infini. La limite de lnx/x est donc positive.

    Or j'ai montré précédemment que lnx/x était majorée par une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers l'infini. Donc lnx /x ne peut prendre que 0+ comme valeur pour sa limite en l'infini
    Juste pour éclaircir les choses.
    pour x >1, lnx / x > 0
    C'est tout ce dont tu as besoin, puisque x -> 0 est une fonction qui tend vers 0 en + infini, et que tu l'as déjà majorée par une fonction qui tend vers 0 en + infini.

    Maintenant dire des choses du genre, ln x / x est strictement positif en +infini n'a pas de sens. ln x / x ne prend pas de valeur en +infini, elle admet une limite (et qui d'ailleurs n'est pas strictement positive puisqu'elle est nulle).
     

  12. Gwyddon

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Karlsruhe (Allemagne)
    Âge
    29
    Messages
    18 716

    Re : limite de (ln x) / x

    Citation Envoyé par adrislas
    je m'apercçois ( je comprends enfin la méthode de Julien ) que j'ai fais presque la même chose. Mais il n'y a pas un problème dans ta démo julien ? car il ne suffit pas de montrer que lnx/x est majorée par 0 pour montrer qu'elle tend vers 0, il fallait juste ajouter la petite précision que j'ai mis tout à l'heure il me semble...non ? Je vais essayer de bien comprendre la méthode matthias, qui certes marche, mais est loin d'être 'intuitive'
    Citation Envoyé par 09Jul85
    Au voisinage de on aura donc avec K la constante ci-dessus, et par comparaison on peut conclure ( étant positive au voisinage de l'infini).
    Je crois que tout y est, non ?
    gg --> H --> gamma gamma => Nobel !
     

  13. adrislas

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Nantes
    Âge
    27
    Messages
    526

    Re : limite de (ln x) / x

    effectivement mea culpa
     

  14. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    IdF
    Messages
    4 439

    Re : limite de (ln x) / x

    Juste une remarque pour Julien. Je pense que ça n'est pas une très bonne idée de donner l'habitude aux Terminales d'utiliser des expressions telles que "au voisinage de l'infini".
     

  15. Gwyddon

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Karlsruhe (Allemagne)
    Âge
    29
    Messages
    18 716

    Re : limite de (ln x) / x

    Très juste, d'ailleurs en prépa la confusion est courante entre "au voisinage de l'infini" et "en l'infini" dans la justification des intégrabilités...

    Donc auto-correction : disons pour tout réel supérieur à 2 l'on a la positivité de . La conclusion reste identique.

    Julien
    gg --> H --> gamma gamma => Nobel !
     


    • Publicité




Poursuivez votre recherche :




Sur le même thème :




 

Discussions similaires

  1. Rendement de Carnot, limite physique ou limite technologique ?
    Par chaverondier dans le forum Physique
    Réponses: 4
    Dernier message: 07/11/2010, 11h46
  2. Limite et DL
    Par margatthieu dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 16
    Dernier message: 02/09/2007, 20h16
  3. limite et e
    Par Maquessime dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 03/01/2006, 02h57
  4. Limite? A-t-on le droit de mettre la limite de a.sigma?
    Par Boobooboo dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 11
    Dernier message: 13/11/2005, 02h57
  5. limite uniforme et limite simple?
    Par etudes_05 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 6
    Dernier message: 18/01/2005, 01h19

Les tags pour cette discussion