limite de (ln x) / x

[adrislas]

Bonjour,

cette question va paraitre idiote, mais je ne me souviens pas comment on démontre rigoureusement ( càd sans dire "ouais x croit plus vite que lnx" ) les valeurs des limite de (ln x)/x aux bornes de définition, c'est à dire [ 0; + infini ]

pourriez-vous me rappeler la démonstration, avec des outils de terminale S ?


En vous remerciant

[Gwyddon]

SAlut Adrislas,

Pour ce qui est de la limite en 0, il n'y a aucun problème, ce n'est pas de la croissance comparée et ça vaut puisque ln tend vers et .

Pour ce qui est du problème en l'infini, tu peux démontrer par exemple que pour x assez grand.

Au voisinage de on aura donc avec K la constante ci-dessus, et par comparaison on peut conclure ( étant positive au voisinage de l'infini).

Julien

[planck]

on se sert de la limite en + infini de exp(x) / x = + infini

on pose x = exp(X). quand x tend vers inf, X tend vers l'inf.

limite qd x tend vers l'infini de ln(x)/x = lim qd X tend vers l'infini de ln(exp(X))/exp(X) = X/exp(X); or, cette dernière limite vaut 0, donc on a bien lim ln(x)/x qd x tend vers l'infini qui vaut 0...

bon, c'est pas très lisible, mais l'idée est là

[adrislas]

ta méthode marche Planck, mais c'est remplacer une fonction par une autre. Et heureusement que je sais comment prouver que e^x/x tend vers + l'infini quand x fait de meme

Quant à ta réponse Julien, je vois bien pour la limite en zéro, mais ta méthode en + l'infini me semble plus compliqué que la méthode que je devrai connaitre en tant que terminale... n'y en a t-il pas une classique ?

en tout cas merci de vos réponses

[planck]

pour prouver que e^x/x tend vers + infini, on prouve que pour tout x positif, e^x > 1/2*x^2 (en étudiant la fonction e^x-1/2x^2) et on applique le théorème de comparaison à l'infini

(oui, oui, tu as dit que tu savais coment faire!!)

[matthias]

Quant à ta réponse Julien, je vois bien pour la limite en zéro, mais ta méthode en + l'infini me semble plus compliqué que la méthode que je devrai connaitre en tant que terminale... n'y en a t-il pas une classique ?

C'est classique et ça n'a rien de compliqué:
pour tout t >= 1:

tu intègres entre 1 et x, tu divises par x, et tu utilises les gendarmes.

[adrislas]

bon, comme les méthodes que vous m'aviez proposé ne me convenaient pas ( elles sont à mon avis au dessus du niveau terminale, pour + l'infini, et peu commodes à rédiger au bac ), j'ai trouvé une petite méthode, mais il me manque une fonction qui tend vers 0 pour encadrer la fonction ln x / x des deux côtés. Je vous l'écris

soit f(x) = racine de x - ln (x)

f '(x) = 1/(2*racine de x) -1/x = ( x-2*racine de x )/(2x*racine de x ) = (( racine de x ) - 2)/(2x)

la dérivée est négative de 0 à 4, s'annule en 4 ,puis positive de 4 à l'infini

donc f(x) décroit de 0 à 4, puis croit de 4 a + l'infini. La valeur prise en x=4 pour f est 2 - ln 4, qui est positif. F est minorée par ce nombre, donc elle est positive pour tout x de son intervalle de définition.

On a ainsi : Racine de x > ln x
(racine de x) / x > ( ln x ) / x car x est positif
1/ ( racine de x ) > (ln x ) / x
Or en + l'infini, lim de 1/(racine de x) est égale à 0


Voilà, il manque juste une fonction qui tend vers 0 et qui est plus petite que ln x/x

merci de votre aide d'avance

[adrislas]

c'est bon je pense avoir trouvé une réponse rigoureuse

ln x / x est strictement positif en + l'infini car ln x et x tendent vers + l'infini quand x tend vers + l'infini. La limite de lnx/x est donc positive.

Or j'ai montré précédemment que lnx/x était majorée par une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers l'infini. Donc lnx /x ne peut prendre que 0+ comme valeur pour sa limite en l'infini

[matthias]

bon, comme les méthodes que vous m'aviez proposé ne me convenaient pas ( elles sont à mon avis au dessus du niveau terminale, pour + l'infini, et peu commodes à rédiger au bac ), j'ai trouvé une petite méthode, mais il me manque une fonction qui tend vers 0 pour encadrer la fonction ln x / x des deux côtés. Je vous l'écris

Tu fais comme tu veux mais les méthodes proposées sont plus que largement accessibles au niveau terminale (à moins qu'intégrer 1/t soit vraiment trop dur ...), la rédaction en est simplissime et ça nécessite environ 5 lignes.
Ta méthode est d'ailleurs plus compliquée.

[adrislas]

je m'apercçois ( je comprends enfin la méthode de Julien ) que j'ai fais presque la même chose. Mais il n'y a pas un problème dans ta démo julien ? car il ne suffit pas de montrer que lnx/x est majorée par 0 pour montrer qu'elle tend vers 0, il fallait juste ajouter la petite précision que j'ai mis tout à l'heure il me semble...non ? Je vais essayer de bien comprendre la méthode matthias, qui certes marche, mais est loin d'être 'intuitive'

[matthias]

c'est bon je pense avoir trouvé une réponse rigoureuse

ln x / x est strictement positif en + l'infini car ln x et x tendent vers + l'infini quand x tend vers + l'infini. La limite de lnx/x est donc positive.

Or j'ai montré précédemment que lnx/x était majorée par une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers l'infini. Donc lnx /x ne peut prendre que 0+ comme valeur pour sa limite en l'infini

Juste pour éclaircir les choses.
pour x >1, lnx / x > 0
C'est tout ce dont tu as besoin, puisque x -> 0 est une fonction qui tend vers 0 en + infini, et que tu l'as déjà majorée par une fonction qui tend vers 0 en + infini.

Maintenant dire des choses du genre, ln x / x est strictement positif en +infini n'a pas de sens. ln x / x ne prend pas de valeur en +infini, elle admet une limite (et qui d'ailleurs n'est pas strictement positive puisqu'elle est nulle).

[Gwyddon]

je m'apercçois ( je comprends enfin la méthode de Julien ) que j'ai fais presque la même chose. Mais il n'y a pas un problème dans ta démo julien ? car il ne suffit pas de montrer que lnx/x est majorée par 0 pour montrer qu'elle tend vers 0, il fallait juste ajouter la petite précision que j'ai mis tout à l'heure il me semble...non ? Je vais essayer de bien comprendre la méthode matthias, qui certes marche, mais est loin d'être 'intuitive'

Au voisinage de on aura donc avec K la constante ci-dessus, et par comparaison on peut conclure ( étant positive au voisinage de l'infini).

Je crois que tout y est, non ?

[adrislas]

effectivement mea culpa

[matthias]

Juste une remarque pour Julien. Je pense que ça n'est pas une très bonne idée de donner l'habitude aux Terminales d'utiliser des expressions telles que "au voisinage de l'infini".

[Gwyddon]

Très juste, d'ailleurs en prépa la confusion est courante entre "au voisinage de l'infini" et "en l'infini" dans la justification des intégrabilités...

Donc auto-correction : disons pour tout réel supérieur à 2 l'on a la positivité de . La conclusion reste identique.

Julien