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limite de (ln x) / x




  1. #1
    adrislas

    limite de (ln x) / x

    Bonjour,

    cette question va paraitre idiote, mais je ne me souviens pas comment on démontre rigoureusement ( càd sans dire "ouais x croit plus vite que lnx" ) les valeurs des limite de (ln x)/x aux bornes de définition, c'est à dire [ 0; + infini ]

    pourriez-vous me rappeler la démonstration, avec des outils de terminale S ?


    En vous remerciant

    -----


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  3. #2
    Gwyddon

    Re : limite de (ln x) / x

    SAlut Adrislas,

    Pour ce qui est de la limite en 0, il n'y a aucun problème, ce n'est pas de la croissance comparée et ça vaut puisque ln tend vers et .

    Pour ce qui est du problème en l'infini, tu peux démontrer par exemple que pour x assez grand.

    Au voisinage de on aura donc avec K la constante ci-dessus, et par comparaison on peut conclure ( étant positive au voisinage de l'infini).

    Julien
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  4. #3
    planck

    Re : limite de (ln x) / x

    on se sert de la limite en + infini de exp(x) / x = + infini

    on pose x = exp(X). quand x tend vers inf, X tend vers l'inf.

    limite qd x tend vers l'infini de ln(x)/x = lim qd X tend vers l'infini de ln(exp(X))/exp(X) = X/exp(X); or, cette dernière limite vaut 0, donc on a bien lim ln(x)/x qd x tend vers l'infini qui vaut 0...

    bon, c'est pas très lisible, mais l'idée est là


  5. #4
    adrislas

    Re : limite de (ln x) / x

    ta méthode marche Planck, mais c'est remplacer une fonction par une autre. Et heureusement que je sais comment prouver que e^x/x tend vers + l'infini quand x fait de meme

    Quant à ta réponse Julien, je vois bien pour la limite en zéro, mais ta méthode en + l'infini me semble plus compliqué que la méthode que je devrai connaitre en tant que terminale... n'y en a t-il pas une classique ?

    en tout cas merci de vos réponses

  6. #5
    planck

    Re : limite de (ln x) / x

    pour prouver que e^x/x tend vers + infini, on prouve que pour tout x positif, e^x > 1/2*x^2 (en étudiant la fonction e^x-1/2x^2) et on applique le théorème de comparaison à l'infini

    (oui, oui, tu as dit que tu savais coment faire!!)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    matthias

    Re : limite de (ln x) / x

    Citation Envoyé par adrislas
    Quant à ta réponse Julien, je vois bien pour la limite en zéro, mais ta méthode en + l'infini me semble plus compliqué que la méthode que je devrai connaitre en tant que terminale... n'y en a t-il pas une classique ?
    C'est classique et ça n'a rien de compliqué:
    pour tout t >= 1:

    tu intègres entre 1 et x, tu divises par x, et tu utilises les gendarmes.

  9. #7
    adrislas

    Re : limite de (ln x) / x

    bon, comme les méthodes que vous m'aviez proposé ne me convenaient pas ( elles sont à mon avis au dessus du niveau terminale, pour + l'infini, et peu commodes à rédiger au bac ), j'ai trouvé une petite méthode, mais il me manque une fonction qui tend vers 0 pour encadrer la fonction ln x / x des deux côtés. Je vous l'écris

    soit f(x) = racine de x - ln (x)

    f '(x) = 1/(2*racine de x) -1/x = ( x-2*racine de x )/(2x*racine de x ) = (( racine de x ) - 2)/(2x)

    la dérivée est négative de 0 à 4, s'annule en 4 ,puis positive de 4 à l'infini

    donc f(x) décroit de 0 à 4, puis croit de 4 a + l'infini. La valeur prise en x=4 pour f est 2 - ln 4, qui est positif. F est minorée par ce nombre, donc elle est positive pour tout x de son intervalle de définition.

    On a ainsi : Racine de x > ln x
    (racine de x) / x > ( ln x ) / x car x est positif
    1/ ( racine de x ) > (ln x ) / x
    Or en + l'infini, lim de 1/(racine de x) est égale à 0


    Voilà, il manque juste une fonction qui tend vers 0 et qui est plus petite que ln x/x

    merci de votre aide d'avance

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  11. #8
    adrislas

    Re : limite de (ln x) / x

    c'est bon je pense avoir trouvé une réponse rigoureuse

    ln x / x est strictement positif en + l'infini car ln x et x tendent vers + l'infini quand x tend vers + l'infini. La limite de lnx/x est donc positive.

    Or j'ai montré précédemment que lnx/x était majorée par une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers l'infini. Donc lnx /x ne peut prendre que 0+ comme valeur pour sa limite en l'infini

  12. #9
    matthias

    Re : limite de (ln x) / x

    Citation Envoyé par adrislas
    bon, comme les méthodes que vous m'aviez proposé ne me convenaient pas ( elles sont à mon avis au dessus du niveau terminale, pour + l'infini, et peu commodes à rédiger au bac ), j'ai trouvé une petite méthode, mais il me manque une fonction qui tend vers 0 pour encadrer la fonction ln x / x des deux côtés. Je vous l'écris
    Tu fais comme tu veux mais les méthodes proposées sont plus que largement accessibles au niveau terminale (à moins qu'intégrer 1/t soit vraiment trop dur ...), la rédaction en est simplissime et ça nécessite environ 5 lignes.
    Ta méthode est d'ailleurs plus compliquée.

  13. #10
    adrislas

    Re : limite de (ln x) / x

    je m'apercçois ( je comprends enfin la méthode de Julien ) que j'ai fais presque la même chose. Mais il n'y a pas un problème dans ta démo julien ? car il ne suffit pas de montrer que lnx/x est majorée par 0 pour montrer qu'elle tend vers 0, il fallait juste ajouter la petite précision que j'ai mis tout à l'heure il me semble...non ? Je vais essayer de bien comprendre la méthode matthias, qui certes marche, mais est loin d'être 'intuitive'

  14. #11
    matthias

    Re : limite de (ln x) / x

    Citation Envoyé par adrislas
    c'est bon je pense avoir trouvé une réponse rigoureuse

    ln x / x est strictement positif en + l'infini car ln x et x tendent vers + l'infini quand x tend vers + l'infini. La limite de lnx/x est donc positive.

    Or j'ai montré précédemment que lnx/x était majorée par une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers l'infini. Donc lnx /x ne peut prendre que 0+ comme valeur pour sa limite en l'infini
    Juste pour éclaircir les choses.
    pour x >1, lnx / x > 0
    C'est tout ce dont tu as besoin, puisque x -> 0 est une fonction qui tend vers 0 en + infini, et que tu l'as déjà majorée par une fonction qui tend vers 0 en + infini.

    Maintenant dire des choses du genre, ln x / x est strictement positif en +infini n'a pas de sens. ln x / x ne prend pas de valeur en +infini, elle admet une limite (et qui d'ailleurs n'est pas strictement positive puisqu'elle est nulle).

  15. #12
    Gwyddon

    Re : limite de (ln x) / x

    Citation Envoyé par adrislas
    je m'apercçois ( je comprends enfin la méthode de Julien ) que j'ai fais presque la même chose. Mais il n'y a pas un problème dans ta démo julien ? car il ne suffit pas de montrer que lnx/x est majorée par 0 pour montrer qu'elle tend vers 0, il fallait juste ajouter la petite précision que j'ai mis tout à l'heure il me semble...non ? Je vais essayer de bien comprendre la méthode matthias, qui certes marche, mais est loin d'être 'intuitive'
    Citation Envoyé par 09Jul85
    Au voisinage de on aura donc avec K la constante ci-dessus, et par comparaison on peut conclure ( étant positive au voisinage de l'infini).
    Je crois que tout y est, non ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  16. #13
    adrislas

    Re : limite de (ln x) / x

    effectivement mea culpa

  17. #14
    matthias

    Re : limite de (ln x) / x

    Juste une remarque pour Julien. Je pense que ça n'est pas une très bonne idée de donner l'habitude aux Terminales d'utiliser des expressions telles que "au voisinage de l'infini".

  18. #15
    Gwyddon

    Re : limite de (ln x) / x

    Très juste, d'ailleurs en prépa la confusion est courante entre "au voisinage de l'infini" et "en l'infini" dans la justification des intégrabilités...

    Donc auto-correction : disons pour tout réel supérieur à 2 l'on a la positivité de . La conclusion reste identique.

    Julien
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  19. #16
    360no2

    Re : limite de (ln x) / x

    euh... bonsoir, je dois être un maths spé courant...

    c'est quoi l'histoire avec "en l'infini" et "au voisinage de l'infini" ?
    c'est que la définition du voisinage peut pas marcher avec l'infini ou alors les deux existent et il y a une différence conceptuelle entre les deux ?
    Faites que vos rêve dévorent votre vie avant que votre vie ne dévore vos rêves !

  20. #17
    adrislas

    Re : limite de (ln x) / x

    c'est quoi la différence ? au voisinage de l'infini, c'est juste un peu avant l'infini ? ( donc pratique pour les lim qui tendent vers 0 )

  21. #18
    matthias

    Re : limite de (ln x) / x

    Citation Envoyé par adrislas
    c'est quoi la différence ? au voisinage de l'infini, c'est juste un peu avant l'infini ? ( donc pratique pour les lim qui tendent vers 0 )
    juste un peu avant l'infini c'est où ? infiniment loin de l'infini ? Il ne suffit pas que le terme soit "pratique", il faut qu'il soit rigoureusement défini. Sinon, une limite ne tend pas vers 0 mais une limite peut être égale à 0. Cela dit, qu'elle soit nulle ou pas n'a aucun rapport avec la choucroute.

    Ici "au voisinage de l'infini" était un abus de langage pour dire "sur un intervalle de la forme ]a;+infini[ avec a réél.
    Je pense que pour la droite de Riemann étendue on doit pouvoir parler rigoureusement de "voisinage de l'infini". Avis aux spécialistes.
    Dernière modification par matthias ; 03/06/2005 à 22h52.

  22. #19
    Gwyddon

    Re : limite de (ln x) / x

    [mode "légèrement HS"]

    Tu avais raison Matthias de critiquer ma présentation, cela dit l'expression "au voisinage de l'infini" est on ne peut plus rigoureuse puisque les voisinages de l'infini dans la droite de Riemann sont exactement les intervalles ] a ; + infini [ . Après on ne précise pas le a car on peut le prendre aussi grand que l'on veut.

    C'est un peu la même chose que l'expression "pour n suffisamment grand".

    [fin mode "légèrement" HS]

    Bonne nuit à tous

    Julien
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  23. #20
    martini_bird

    Re : limite de (ln x) / x

    Salut,

    petite remarque: on parle du voisinage d'un point: c'est simplement un ouvert qui contient ce point. Or l'infini n'est pas un point de IR.

    Citation Envoyé par 09Jul85
    les voisinages de l'infini dans la droite de Riemann sont exactement les intervalles ] a ; + infini [ .
    Kesako la droite de Riemann? Tu veux parler de la droite projective (homéomorphe au cercle, obtenue par exemple par projection stéréographique)?

    Je veux bien que l'on puisse compactifier IR, mais si tu prends un voisinage (ouvert) du point dans le compactifié (disons sur le cercle IP1IR pour fixer les idées) et que tu appliques la transformation réciproque, tu retrouves (au moins) une réunion des intervalles ]-oo, a[ et ]b, +oo[.

    Enfin bref, je n'ai pas trop compris ce que tu voulais dire.

    Cordialement.

    EDIT: à moins que tu voulais parler de la droite achevée ?
    Dernière modification par martini_bird ; 04/06/2005 à 12h09.

  24. #21
    Gwyddon

    Re : limite de (ln x) / x

    Oui martini je parlais de la droite achevée ; je croyais qu'on la nommait "droite de Riemann" ...

    Bon en bref, la définition d'un voisinage de est bien celle que je donne (j'ai revérifié dans mon cours pour être sûr).
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  25. #22
    martini_bird

    Re : limite de (ln x) / x

    Citation Envoyé par 09Jul85
    Oui martini je parlais de la droite achevée ; je croyais qu'on la nommait "droite de Riemann" ...

    Bon en bref, la définition d'un voisinage de est bien celle que je donne (j'ai revérifié dans mon cours pour être sûr).
    I agree.

    Je n'ai jamais entendu parlé de "droite de Riemann", mais de "sphère de Riemann".
    Et l'emploi de "droite de Riemann" pour la droite achevée me paraît abusif car la sphère de Riemann s'identifie au compactifié d'Alexandroff, ce qui n'est pas le cas pour la droite achevée.

    Enfin bon, ce sont des détails. Nous sommes d'accord et fin du léger HS.

    Cordialement.

  26. #23
    matthias

    Re : limite de (ln x) / x

    Citation Envoyé par martini_bird
    Je n'ai jamais entendu parlé de "droite de Riemann", mais de "sphère de Riemann".
    Et l'emploi de "droite de Riemann" pour la droite achevée me paraît abusif car la sphère de Riemann s'identifie au compactifié d'Alexandroff, ce qui n'est pas le cas pour la droite achevée.
    Mes profs de maths ont toujours parlé de "droite de Riemann" pour la droite achevée. Je ne sais pas si c'est abusif, mais c'est courant.

  27. #24
    martini_bird

    Re : limite de (ln x) / x

    Citation Envoyé par matthias
    Mes profs de maths ont toujours parlé de "droite de Riemann" pour la droite achevée. Je ne sais pas si c'est abusif, mais c'est courant.
    Bon ben, au temps pour moi.

    Mais je considère quand même que c'est abusif!

    D'une part, Riemann n'a pas fait usage ou très peu (à ma connaissance) de . Son nom reste attaché à la sphère (que l'on peut appeler droite, puisque le plan réel est une droite complexe, mais bon).

    D'autre part, comme je le disais, les procédés pour compactifier la droite réelle ne sont pas les mêmes. Pour , on a ajouté deux points, alors qu'il en suffit d'un seul pour compactifier le plan complexe.

    Cordialement.

  28. #25
    matthias

    Re : limite de (ln x) / x

    Citation Envoyé par martini_bird
    D'autre part, comme je le disais, les procédés pour compactifier la droite réelle ne sont pas les mêmes. Pour , on a ajouté deux points, alors qu'il en suffit d'un seul pour compactifier le plan complexe.
    Oui, c'est pour ça que j'étais resté prudent.

  29. #26
    C.B.

    Re : limite de (ln x) / x

    Citation Envoyé par 09Jul85
    puisque les voisinages de l'infini dans la droite de Riemann sont exactement les intervalles ] a ; + infini [ . Après on ne précise pas le a car on peut le prendre aussi grand que l'on veut.
    En fait, non.
    Dans (la droite achevée), une base de voisinage de +infini est ] a ; + infini ] (avec le crochet fermant, puisqu'on est dans ).
    De plus, il ne s'agit que d'une base de voisinage et pas de tous les voisinages (un voisinage est un ensemble qui contient un élément de la base de voisinages).

    Citation Envoyé par martini_bird
    D'autre part, comme je le disais, les procédés pour compactifier la droite réelle ne sont pas les mêmes. Pour , on a ajouté deux points, alors qu'il en suffit d'un seul pour compactifier le plan complexe.
    Pour R on peut aussi se contenter de ne rajouter qu'un point.
    Pour C il est aussi possible d'ajouter une infinité de points : les e^(i*theta)*infini pour theta variant dans [0 2Pi[
    Cela permet de donner une caractérisation plus précise que juste "tend vers l'infini".

  30. #27
    Gwyddon

    Re : limite de (ln x) / x

    Oui bon c'est du chipotage là...

    Tu ne crois pas ?

    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  31. #28
    Foulefou

    Re : limite de (ln x) / x

    Bonjour, je ne sais pas si vous en avez entendu ou bien que vous ne voulez pas l'utiliser mais le théorème de L'Hospital peut vous être des plus utlile... Pour le découvrir, suivez le lien http://fr.wikipedia.org/wiki/Règle_d...pital#Principe

  32. #29
    mathhh

    Re : limite de (ln x) / x

    Salut,
    Il y a une méthode beaucoup plus facile pour la lim en + inf de ln x /x
    On applique le théorème de l'Hospital qui consiste à faire la dérivée des deux fonctions quand on a un quotien.
    ce qui donne : 1/x /1 et la lim en + inf de 1/x = 0

  33. #30
    God's Breath

    Re : limite de (ln x) / x

    La question, qui date de 6 ans..., demandait une méthode utilisant des outils de Terminales S ; je ne sache pas que la règle de L'Hospital soit disponible dans cette boite à outils.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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