Bonjour,
cette question va paraitre idiote, mais je ne me souviens pas comment on démontre rigoureusement ( càd sans dire "ouais x croit plus vite que lnx" ) les valeurs des limite de (ln x)/x aux bornes de définition, c'est à dire [ 0; + infini ]
pourriez-vous me rappeler la démonstration, avec des outils de terminale S ?
En vous remerciant
SAlut Adrislas,
Pour ce qui est de la limite en 0, il n'y a aucun problème, ce n'est pas de la croissance comparée et ça vautpuisque ln tend vers
Pour ce qui est du problème en l'infini, tu peux démontrer par exemple que
Au voisinage de
Julien
on se sert de la limite en + infini de exp(x) / x = + infini
on pose x = exp(X). quand x tend vers inf, X tend vers l'inf.
limite qd x tend vers l'infini de ln(x)/x = lim qd X tend vers l'infini de ln(exp(X))/exp(X) = X/exp(X); or, cette dernière limite vaut 0, donc on a bien lim ln(x)/x qd x tend vers l'infini qui vaut 0...
bon, c'est pas très lisible, mais l'idée est là
ta méthode marche Planck, mais c'est remplacer une fonction par une autre. Et heureusement que je sais comment prouver que e^x/x tend vers + l'infini quand x fait de meme
Quant à ta réponse Julien, je vois bien pour la limite en zéro, mais ta méthode en + l'infini me semble plus compliqué que la méthode que je devrai connaitre en tant que terminale... n'y en a t-il pas une classique ?
en tout cas merci de vos réponses
pour prouver que e^x/x tend vers + infini, on prouve que pour tout x positif, e^x > 1/2*x^2 (en étudiant la fonction e^x-1/2x^2) et on applique le théorème de comparaison à l'infini
(oui, oui, tu as dit que tu savais coment faire!!)
C'est classique et ça n'a rien de compliqué:Envoyé par adrislas
pour tout t >= 1:
tu intègres entre 1 et x, tu divises par x, et tu utilises les gendarmes.
bon, comme les méthodes que vous m'aviez proposé ne me convenaient pas ( elles sont à mon avis au dessus du niveau terminale, pour + l'infini, et peu commodes à rédiger au bac ), j'ai trouvé une petite méthode, mais il me manque une fonction qui tend vers 0 pour encadrer la fonction ln x / x des deux côtés. Je vous l'écris
soit f(x) = racine de x - ln (x)
f '(x) = 1/(2*racine de x) -1/x = ( x-2*racine de x )/(2x*racine de x ) = (( racine de x ) - 2)/(2x)
la dérivée est négative de 0 à 4, s'annule en 4 ,puis positive de 4 à l'infini
donc f(x) décroit de 0 à 4, puis croit de 4 a + l'infini. La valeur prise en x=4 pour f est 2 - ln 4, qui est positif. F est minorée par ce nombre, donc elle est positive pour tout x de son intervalle de définition.
On a ainsi : Racine de x > ln x
(racine de x) / x > ( ln x ) / x car x est positif
1/ ( racine de x ) > (ln x ) / x
Or en + l'infini, lim de 1/(racine de x) est égale à 0
Voilà, il manque juste une fonction qui tend vers 0 et qui est plus petite que ln x/x
merci de votre aide d'avance
c'est bon je pense avoir trouvé une réponse rigoureuse
ln x / x est strictement positif en + l'infini car ln x et x tendent vers + l'infini quand x tend vers + l'infini. La limite de lnx/x est donc positive.
Or j'ai montré précédemment que lnx/x était majorée par une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers l'infini. Donc lnx /x ne peut prendre que 0+ comme valeur pour sa limite en l'infini
Tu fais comme tu veux mais les méthodes proposées sont plus que largement accessibles au niveau terminale (à moins qu'intégrer 1/t soit vraiment trop dur ...), la rédaction en est simplissime et ça nécessite environ 5 lignes.
Ta méthode est d'ailleurs plus compliquée.
je m'apercçois ( je comprends enfin la méthode de Julien ) que j'ai fais presque la même chose. Mais il n'y a pas un problème dans ta démo julien ? car il ne suffit pas de montrer que lnx/x est majorée par 0 pour montrer qu'elle tend vers 0, il fallait juste ajouter la petite précision que j'ai mis tout à l'heure il me semble...non ? Je vais essayer de bien comprendre la méthode matthias, qui certes marche, mais est loin d'être 'intuitive'
Juste pour éclaircir les choses.
pour x >1, lnx / x > 0
C'est tout ce dont tu as besoin, puisque x -> 0 est une fonction qui tend vers 0 en + infini, et que tu l'as déjà majorée par une fonction qui tend vers 0 en + infini.
Maintenant dire des choses du genre, ln x / x est strictement positif en +infini n'a pas de sens. ln x / x ne prend pas de valeur en +infini, elle admet une limite (et qui d'ailleurs n'est pas strictement positive puisqu'elle est nulle).
Je crois que tout y est, non ?Au voisinage de
effectivement mea culpa
Juste une remarque pour Julien. Je pense que ça n'est pas une très bonne idée de donner l'habitude aux Terminales d'utiliser des expressions telles que "au voisinage de l'infini".
Très juste, d'ailleurs en prépa la confusion est courante entre "au voisinage de l'infini" et "en l'infini" dans la justification des intégrabilités...
Donc auto-correction : disons pour tout réel supérieur à 2 l'on a la positivité de
Julien
euh... bonsoir, je dois être un maths spé courant...
c'est quoi l'histoire avec "en l'infini" et "au voisinage de l'infini" ?
c'est que la définition du voisinage peut pas marcher avec l'infini ou alors les deux existent et il y a une différence conceptuelle entre les deux ?
c'est quoi la différence ? au voisinage de l'infini, c'est juste un peu avant l'infini ? ( donc pratique pour les lim qui tendent vers 0 )
juste un peu avant l'infini c'est où ? infiniment loin de l'infini ? Il ne suffit pas que le terme soit "pratique", il faut qu'il soit rigoureusement défini. Sinon, une limite ne tend pas vers 0 mais une limite peut être égale à 0. Cela dit, qu'elle soit nulle ou pas n'a aucun rapport avec la choucroute.
Ici "au voisinage de l'infini" était un abus de langage pour dire "sur un intervalle de la forme ]a;+infini[ avec a réél.
Je pense que pour la droite de Riemann étendue on doit pouvoir parler rigoureusement de "voisinage de l'infini". Avis aux spécialistes.
[mode "légèrement HS"]
Tu avais raison Matthias de critiquer ma présentation, cela dit l'expression "au voisinage de l'infini" est on ne peut plus rigoureuse puisque les voisinages de l'infini dans la droite de Riemann sont exactement les intervalles ] a ; + infini [ . Après on ne précise pas le a car on peut le prendre aussi grand que l'on veut.
C'est un peu la même chose que l'expression "pour n suffisamment grand".
[fin mode "légèrement" HS]
Bonne nuit à tous
Julien
Salut,
petite remarque: on parle du voisinage d'un point: c'est simplement un ouvert qui contient ce point. Or l'infini n'est pas un point de IR.
Je veux bien que l'on puisse compactifier IR, mais si tu prends un voisinage (ouvert) du point
Enfin bref, je n'ai pas trop compris ce que tu voulais dire.
Cordialement.
EDIT: à moins que tu voulais parler de la droite achevée
Oui martini je parlais de la droite achevée
Bon en bref, la définition d'un voisinage de
I agree.Oui martini je parlais de la droite achevée
Bon en bref, la définition d'un voisinage de
Je n'ai jamais entendu parlé de "droite de Riemann", mais de "sphère de Riemann".
Et l'emploi de "droite de Riemann" pour la droite achevée me paraît abusif car la sphère de Riemann s'identifie au compactifié d'Alexandroff, ce qui n'est pas le cas pour la droite achevée.
Enfin bon, ce sont des détails. Nous sommes d'accord et fin du léger HS.
Cordialement.
Mes profs de maths ont toujours parlé de "droite de Riemann" pour la droite achevée. Je ne sais pas si c'est abusif, mais c'est courant.
Bon ben, au temps pour moi.
Mais je considère quand même que c'est abusif!
D'une part, Riemann n'a pas fait usage ou très peu (à ma connaissance) de
D'autre part, comme je le disais, les procédés pour compactifier la droite réelle ne sont pas les mêmes. Pour
Cordialement.
Oui, c'est pour ça que j'étais resté prudent.D'autre part, comme je le disais, les procédés pour compactifier la droite réelle ne sont pas les mêmes. Pour
En fait, non.
Dans
De plus, il ne s'agit que d'une base de voisinage et pas de tous les voisinages (un voisinage est un ensemble qui contient un élément de la base de voisinages).
Pour R on peut aussi se contenter de ne rajouter qu'un point.D'autre part, comme je le disais, les procédés pour compactifier la droite réelle ne sont pas les mêmes. Pour
Pour C il est aussi possible d'ajouter une infinité de points : les e^(i*theta)*infini pour theta variant dans [0 2Pi[
Cela permet de donner une caractérisation plus précise que juste "tend vers l'infini".
Oui bon c'est du chipotage là...
Tu ne crois pas ?
Bonjour, je ne sais pas si vous en avez entendu ou bien que vous ne voulez pas l'utiliser mais le théorème de L'Hospital peut vous être des plus utlile... Pour le découvrir, suivez le lien http://fr.wikipedia.org/wiki/Règle_d...pital#Principe
Salut,
Il y a une méthode beaucoup plus facile pour la lim en + inf de ln x /x
On applique le théorème de l'Hospital qui consiste à faire la dérivée des deux fonctions quand on a un quotien.
ce qui donne : 1/x /1 et la lim en + inf de 1/x = 0
La question, qui date de 6 ans..., demandait une méthode utilisant des outils de Terminales S ; je ne sache pas que la règle de L'Hospital soit disponible dans cette boite à outils.
