limite de (ln x) / x

[invite450f7d96]

Si, puisque JE suis en terminal.
Et puis je pense à ceux qui vont sur internet pour avoir une solution.
Tant pis si la question date de 6 ans ...
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[invitec637a7b0]

Bonjour.
On peut simplement partir du fait que lnx<x quel que soit x>0
En effet la fonction f(x)= x-lnx est toujours supérieure à 1, donc positive, puisque sa dérivée f'(x)=1-1/x= (x-1)/x s'annule pour x=1; est négative avant et positive après. Donc f décroit jusqu'à x=1 puis croit après. Or, pour 1, f(1) = 1.

Dès lors on peut écrire de même manière: ln(racine x) <racine x; soit ½ lnx<racine x
On a donc 0<lnx<2 racine x, pour x>1 soit en divisant par x:
0 < lnx/x < 2/ racine x; lequel tend vers zéro quand x tend vers l'infini. CQFD

[kaderben]

Bonjour
Voici une démonstration sur un livre de terminale S
ln(Vx) < Vx ( V = racine) car ln x < x
1/2lnx < Vx
lnx/x < 2/Vx
0 < lnx/x < 2/Vx pour x>1
lim2/Vx = 0 et avec les gendarmes lim lnx/x = 0

[invitec637a7b0]

Bon, écrit différemment, c'est la même démonstration.
Heureux qu'elle soit dans un manuel de terminale S, car dans le livre de maths de ma petite fille en terminale ES, on ose écrire cette limite, l'appeler pompeusement "théorème", et ne pas la démontrer! sic!

[kaderben]

Excuse moi mathofile, je n'ai pas vu ta démonstration, sinon je n'aurai rien envoyer pour éviter les doublons