Limite de ln (x+1) / x

[invite87a1ce41]

j'ai trouvé une autre limite angoissante : lim quand x tend vers 0 de ln(x+1)/x

j'ai beau chercher, je vois pas quel est le moyen d'échanger ce zéro sur zéro pour un truc plus sympa
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[invite4793db90]

L'angoisse était telle que je me suis permis de scinder la discussion dans un nouveau fil.

Bien à vous.

[inviteab2b41c6]

Juste une idée qui va te désangoisser:

ln(1)=0 ...
Donc ln(x+1)/x=[ln(x+1)-ln(1)]/x

Bonne chance.
A+

[invite87a1ce41]

je crois deviner... c'est f(x+a)-f(a)/x = f'(a)

or a = 1

f' (1) = 1/1

youpi

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite87a1ce41]

le pire c'est que j'y avais pensé, mais avec la fatigue, et mon désir inconscient d'arrêter enfin les maths ( 4 h de suite ), ma tête m'a fait croire que ça ne marchait pas


( mode HS, moi aussi )

[Bleyblue]

Dis, pourquoi n'utilises tu pas le théorème de l'hospital ? Il est la pour ça non ?

[invite9c9b9968]

Salut Bleyblue,

Ça fait un moment que l'on ne t'a pas vu ici

Pour cette limite, tu ne crois pas que tu utilise le marteau-piqueur pour écraser la mouche ?

[Bleyblue]

Ah ben si en effet ...
Mais bon, c'est tellement facile qu'après tout hein, yop on dérive numérateur et dénominateur et c'est fait

[invite58081e51]

Salut, moi aussi j'ai une angoisse subite, je suis en classe prepa, alors limite quand x tend vers 0 de ln(1+x)/x ça ferait pas 1 par hasard en faisant un dl de ln(1+x) des familles

[Bleyblue]

Ca fait 1, d'une manière ou d'une autre

Dites, quelqu'un peut il m'expliquer ce qu'est un développement limite ? Je n'ai jamais appris ça or ça me semble très utile ...

[invite4793db90]

Un développement limité consiste à donner une approximation d'une fonction par un polynôme. On peut voir la dérivation comme une approximation par un polynôme de degré 1 (une droite). Les développements limités constituent une généralisation de ce procédé.

En fait, les développements limités et les dérivées successives sont liés par les formules de Taylor.

Par exemple, ln(x+1)=x+x.e(x) où e(x) tend vers zéro quand x tend vers 0 est un développement limité de x |-> ln(x+1) en 0 à l'ordre 1.
A l'ordre deux, ln(x+1)=x-x²/2 +x².e(x).

Plus d'infos par exemple ici ou sur google.

Cordialement.

[Bleyblue]

Ah oui ok, développement de Taylor et Mac.Laurin je n'ai pas encore vu ça, ça va venir

merci

[invitef4d4c95a]

Bonsoir ,

N'importe quoi !


Si la limite à étudier est :

f(x) = ln[(x+1)/x]
lim x --> 0
alors , f(x) tend vers : + l'infini

Si la limite à étudier est :

f(x) = [ln(x+1)]/x
lim x --> 0
alors , f(x) tend vers : 0


A plus tard

[invite3d7be5ae]

Vraiment? je dirais plutôt vers 1 (même si je ne le démontre pas)

Pour x=0.00000000000000001 ça donne 0.999999999999999995
Pour x=0.0000000000000000000001 ça donne 0.99999999999999999999995

Avec ces résultats, on va chercher à démontrer que la limite est 1 et non pas 0.

Le dernier résultats avec 100 décimales :
0.9999999999999999999799950000 000000000000000003333333333333 333333333083333333333333333333 3533333333333

Encore le même avec 200 décimales : 0.9999999999999999999999500000 000000000000000033333333333333 333333330833333333333333333333 533333333333333333333316666666 666666666666668095238095238095 238095113095238095238095238106 3492063492063492063482
Marrant, non?

Pourquoi il créé ces fichues espaces en plein milieu des nombres?

[GuYem]

Bonsoir ,

N'importe quoi !


Si la limite à étudier est :

f(x) = ln[(x+1)/x]
lim x --> 0
alors , f(x) tend vers : + l'infini

Si la limite à étudier est :

f(x) = [ln(x+1)]/x
lim x --> 0
alors , f(x) tend vers : 0


A plus tard

Tes interventions sont assez colorées Daniel!

Je crois bien que tu t'es trompé pour le deuxième cas ; la limite fait bien 1.

[invitef4d4c95a]

Bonsoir , Guyem ,

Tes interventions sont assez colorées Daniel!

Je crois bien que tu t'es trompé pour le deuxième cas ; la limite fait bien 1.

Ah ! bon excuse moi , alors ! Je pensais que :

f(x) = [ln(x+1)]/x = 1/x . [ln(x+1)] , et que si : x --> 0 ==> 1/x --> + l'infini

et que : ln(x+1) --> ln 1 , et comme : ln 1 = 0 , alors , il vient que : ln(x+1) --> 0 ,
or , on sait que le produit d'un nombre par : 0 est toujours nul .

Par conséquent :


f(x) = [ln(x+1)]/x = 1/x . [ln(x+1)] = (+ l'infini) X (0) = 0
lim x-->0


A plus tard

[GuYem]

Tu as en effet bien pensé ; mais ta conclusion est hative. Il se trouve que le fait que le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0 se "compensent" pour finalement donner une limite égale à 1.

Même si cela peut paraitre obscure c'est tout a fait envisageable, regarde la limite de x/x quand x tends vers 0 ! C'est exactement la même chose qui se passe ici.

En espérant avoir été clair.

[invitef4d4c95a]

Rebonsoir , Guyem ,

Tu as en effet bien pensé ; mais ta conclusion est hative. Il se trouve que le fait que le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0 se "compensent" pour finalement donner une limite égale à 1.

Même si cela peut paraitre obscure c'est tout a fait envisageable, regarde la limite de x/x quand x tends vers 0 ! C'est exactement la même chose qui se passe ici.

En espérant avoir été clair.

Ah , pardon , ce que tu dis est vrai , seulement , tu oublies un léger détail , c'est que l'on est en présence de deux fonctions différentes :

- fonction hyperbolique représentée par : f(x) = 1/x

- fonction logarithmique représentée par : g(x) = ln(x+1)

or , leur domaine de variation ainsi que l'évolution de leur courbe ne sont pas identiques !

En effet , lorsque : x --> 0 , la fonction logarithmique définie par : g(x) = ln(x+1) tend beaucoup plus rapidement vers : 0 que la fonction hyperbolique définie par : f(x) = 1/x .

Quant à ce que tu dis plus bas , je pense que la simplification est immédiate , il n'y a donc pas d'indétermination , de la fonction que tu donnes en exemple , à savoir : f(x) = x/x , lorsque x tend vers : 0 , car , là : x/x = 1


A plus tard

[GuYem]

Rebonsoir , Guyem ,


Ah , pardon , ce que tu dis est vrai , seulement , tu oublies un léger détail , c'est que l'on est en présence de deux fonctions différentes :

- fonction hyperbolique représentée par : f(x) = 1/x

- fonction logarithmique représentée par : g(x) = ln(x+1)

or , leur domaine de variation ainsi que l'évolution de leur courbe ne sont pas identiques !

En effet , lorsque : x --> 0 , la fonction logarithmique définie par : g(x) = ln(x+1) tend beaucoup plus rapidement vers : 0 que la fonction hyperbolique définie par : f(x) = 1/x .

Quant à ce que tu dis plus bas , je pense que la simplification est immédiate , il n'y a donc pas d'indétermination , de la fonction que tu donnes en exemple , à savoir : f(x) = x/x , lorsque x tend vers : 0 , car , là : x/x = 1


A plus tard

La preuve que non. Quand x tends vers 0 ln(1+x) tend "aussi vite" vers 0 que 1/x tends vers +oo, du coup les deux se compensent et la limite est 1.

Evidemment que la fonction que je donne se simplifie. C'était juste pour montrer sur un exemple simple qu'une forme indeterminée du type 0/0 ne donne pas forcément une limite 0 ou infinie.

[invitef4d4c95a]

La preuve que non. Quand x tends vers 0 ln(1+x) tend "aussi vite" vers 0 que 1/x tends vers +oo, du coup les deux se compensent et la limite est 1.

Evidemment que la fonction que je donne se simplifie. C'était juste pour montrer sur un exemple simple qu'une forme indeterminée du type 0/0 ne donne pas forcément une limite 0 ou infinie.

Donc , si la variation est aussi rapide , le produit : l'infini par 0 , donne bien : 0 et non : 1 !

Peux-tu me mettre en évidence , en détaillant bien les choses que :

f(x) = [ln(x+1)]/x = 1
lim x --> 0


Pour le reste , justement , je ne démontre pas que la fonction donne une indétermination de la forme : 0/0 , puisque , je m'efforce de faire le contraire en levant cette indétermination , en factorisant la fonction , f(x) Il faut dire que tout ceci est bien loin derrière moi !

En tout cas , cela fait plaisir de discuter avec des gens qui savent de quoi ils parlent , cela devient de plus en plus rare avec le progrès qui incite les gens à utiliser des calculatrices hyper sophistiquées ou devrais-je dire plutôt de véritables ordinateurs de poche .

A plus tard

[Bleyblue]

le progrès qui incite les gens à utiliser des calculatrices hyper sophistiquées ou devrais-je dire plutôt de véritables ordinateurs de poche .

Bah il n'y a pas de mal.
Lorsqu'il s'agit d'étudier certaines courbes ou pour vérifier ses réponses, une calculatrice graphique (formelle) peut être très utile (voir indispensable)

[GuYem]

[/COLOR][/B]
[COLOR=Sienna]Donc , si la variation est aussi rapide , le produit : l'infini par 0 , donne bien : 0 et non : 1 !

Peux-tu me mettre en évidence , en détaillant bien les choses que :

f(x) = [ln(x+1)]/x = 1
lim x --> 0



A plus tard

Avec plaisir. Il y a plusieurs façons de voir les choses. En voici une qui a été donnée plus haut, qui semble peut-être un peu tombée du ciel mais qui marche bien. Considère la fonction f : x->ln(1+x). Cette fonction est continue et dérivable en x=0. de lus f ' (x) = 1/(1+x) et donc f ' (0) = 1.

Mais au fait qu'est-ce-donc que f ' (0) si ce n'est le limite du taux d'accroissement en 0 ? Cette limite de taux d'accroissement vaut, en notant h la variable comme d'habitude :


Voilà c'est démontré.

[invitef4d4c95a]

Bonjour , Guyem ,


Oui , je suis d'accord avec toi mais ce que je voulais c'est un moyen de lever l'indétermination de :

1/x . [ ln(x+1)] = 0/0 , ou , 1/x . [ ln(x+1)] = + l'infini X 0

et ainsi tomber immédiatement et de manière évidente sur :

f(x) = [ ln(x+1)]/x = 1
lim x --> 0

Merci et à plus tard

[GuYem]

Je ne connais pas de moeyn de lever cette indetermination de manière systématique.

D'ailleurs quand tu tombes sur une limite (infini) X 0 tous les cas sont possibles à savoir :
-La limite sera infinie
-La limte sera 0
-La limite sera ni infinie ni 0.

[invitef4d4c95a]

D'accord , parce que lorsque j'étais dans le système scolaire , on trouvait toujours un moyen de lever une indétermination , car , autrement , le problème ne pouvait être résolu , chose très étonnante !

A plus tard

[invite5a0e4f7f]

Je pense que les développements limités est un bon moyen d'enlever toute sorte d'indetermination.

[invitef4d4c95a]

Bonsoir ,

C'est à cela que se limite ta réponse !?

A plus tard

[GuYem]

Sur cet exemple Greg n'a pas tort ; et même en général les développements limités permettent de résoudre quantité de forme indéterminées.

Ici, quand x tend vers 0 on ecrit le DL de ln(1+x) à l'ordre 1 qui est bien simple:
ln(1+x) = x + o(x)

Du coup ln(1+x)/x = 1 + 1/x . o(x) qui tend bien vers 1 vu la définition du o(x)

[invitedab92752]

Tu as en effet bien pensé ; mais ta conclusion est hative. Il se trouve que le fait que le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0 se "compensent" pour finalement donner une limite égale à 1.

Même si cela peut paraitre obscure c'est tout a fait envisageable, regarde la limite de x/x quand x tends vers 0 ! C'est exactement la même chose qui se passe ici.

En espérant avoir été clair.

salut tt le monde est ce que qq peut me rappeler de la fct hyperbple merci

[invitedab92752]

salut tt le monde au secours j'ai tt oublié sur la fct hyperbole merci