[sup]Norme et Produit scalaire.

[mimo13]

Bonjour

J'ai commencer ce week-end le cours du produit scalaire et je voudrai quelques clarifications si c'est possible:

On demande de montrer que et sont orthogonaux ssi pour tout sachant que et sont deux vecteurs de .

Voici ma réponse:

=>) Hyp: et sont orthogonaux:

on a d'après Pythagore:

Inégalité Vérifiée.

Réciproquement: Hyp:

par passage au produit scalaire on a :


Or ce trinôme de second degres est positif pour tout si et seulement si
donc

et sont orthogonaux. cqfd

P.S On pourra traiter le cas de séparément.

Qu'en pensez vous ??

Autre chose, on demande dans un exercice de démontrer le théorème de Pythagore pour une famille finie quelconque.

Je n'ai pas très bien saisi cette question, apparement il faut démontrer que , mais dans ce cas la famille doit être nécessairement orthogonale non ??

Merci de votre aide.

Cordialement
-----

[Flyingsquirrel]

Qu'en pensez vous ??

Ça m'a l'air correct.

Je n'ai pas très bien saisi cette question, apparement il faut démontrer que , mais dans ce cas la famille doit être nécessairement orthogonale non ??

Oui, il faut que les soient deux à deux orthogonaux.

[mimo13]

Ça m'a l'air correct.

Merci.

Oui, il faut que les soient deux à deux orthogonaux.

C'est bien ce que je pensais, mais ce qui me parait bizarre c'est le fait qu'il dit "pour une famille finie quelconque" .

[lapin savant]

oui cela parait bizarre, mais le théorème de Pythagore donne une équivalence entre orthogonalité et l'égalité mentionnée.
Pour une famille finie quelconque de l'espace euclidien, il faut montrer l'équivalence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mimo13]

oui cela parait bizarre, mais le théorème de Pythagore donne une équivalence entre orthogonalité et l'égalité mentionnée.
Pour une famille finie quelconque de l'espace euclidien, il faut montrer l'équivalence.

Oui, c'est bien ce que je pensais, il s'agit de montrer l'équivalence.

Merci bien.