Équation fonctionnelle

[inviteaf68f0d4]

Bonjour

Je debute en equation fonctionelle et je tombe sur cet exo:
Trouver une fonction f(x) R-->R continu en 0 tel que:
f(2x)=f(x)

Il est evident que les fonctions constantes conviennent.
Y'en a t-il d'autre ?
Si non comment demontrer cela ?

Merci
-----

[Flyingsquirrel]

Salut,

Y'en a t-il d'autre ?

Non.

Si non comment demontrer cela ?

On peut commencer par montrer que pour tout réel et pour tout entier , . Ensuite il reste à exploiter la continuité de en 0 pour conclure.

[inviteaf68f0d4]

Desole mais j'ai pas trop compris ce que tu propose.

On peut commencer par montrer que pour tout réel et pour tout entier , .

Bon ok j'ai reussi a demontrer cela.

Mais apres comment on exploite la continuité en 0 ?

[Seirios]

Bonjour,

Pour simplifier les calculs, on peut aussi poser ; le but est alors de montrer que pour tout réel x, . Comme le dit Flyingsquirrel, il suffit ensuite de montrer que , puis de conclure en utilisant la continuité en 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf68f0d4]

Bonjour,

Pour simplifier les calculs, on peut aussi poser ; le but est alors de montrer que pour tout réel x, . Comme le dit Flyingsquirrel, il suffit ensuite de montrer que .

jusque la tout va bien

mais j'arrive pas a conclure

, puis de conclure en utilisant la continuité en 0

Je ne vois pas le rapport entre ce que j'ai montrer et la continuite en 0

[mimo13]

Que ce passera-t-il quand ???

[Flyingsquirrel]

Mais apres comment on exploite la continuité en 0 ?

Tu connais la caractérisation séquentielle de la continuité ? Pour la continuité en 0 d'une fonction définie sur cela revient à dire que « est continue en 0 si, et seulement si, pour toute suite de réels de limite nulle on a ».

[inviteaf68f0d4]

Tu connais la caractérisation séquentielle de la continuité ? Pour la continuité en 0 d'une fonction définie sur cela revient à dire que « est continue en 0 si, et seulement si, pour toute suite de réels de limite nulle on a ».

non je ne connais pas. C'est de quel niveau ?

Que ce passera-t-il quand ???

alors tend vers 0
donc g(x)= cte pour tout x donc f(x) est une fonction constante ?
mais le probleme c'est que quand n tend vers +oo
tendvers f(0) donc g(x) tend vers 0 pour tout x il y aura toujours une diffrence aussi négligeable soit elle, elle existe toujours. Peut on alors parler de fonction constante ?

[mimo13]

il y aura toujours une différence aussi négligeable soit elle, elle existe toujours. Peut on alors parler de fonction constante ?

J'avoue que je ne vois pas cette différence dont tu parle...

[Flyingsquirrel]

non je ne connais pas. C'est de quel niveau ?

Je ne sais pas mais tu n'as besoin que du sens direct (si est continue en 0 et si est une suite de réels de limite nulle alors ) et sa démonstration est niveau terminale.

alors tend vers 0
donc g(x)= cte pour tout x

Il faudrait justifier ce « donc ».

[mimo13]

Flyingsquirrel a bien raison, ce 'donc' qui te semble si simple n'est pourtant pas vrai si la fonction n'est pas continue en 0.

>Flyingsquirrel Je n'ai vu la caractérisation séquentielle de la limite que cette année en sup.
D'ailleurs, j'ai même eu cet exo en colle

[inviteaf68f0d4]

Ce « donc » mériterait d'être justifié.

En effet tend vers 0 quand n--->0
donc tend vers f(0) car la fonction qu'on recherche est continu en 0. Donc g(x) tend vers f(0)-f(0) =0. donc la fonction est constante car pour tout x on a f(x)=f(0)

c'est ca non ?

Edit: Je pense que je vais bien aimer les equations fonctionelle
Est ce que vous avez une ou deux pas trop dur ( c'etait mon premier probleme) pour m'amuser un peu ?

[mimo13]

En effet tend vers 0 quand n--->0
donc tend vers f(0) car la fonction qu'on recherche est continu en 0. Donc g(x) tend vers f(0)-f(0) =0. donc la fonction est constante car pour tout x on a f(x)=f(0)

c'est ca non ?

Oui c'est bien cela sauf qu'il vaudrait mieux dire que la fonction est égale à car elle ne dépend pas de .

Une autre du même genre:
Trouver toutes les fonctions continues en et en vérifiant .

Bonne chance.

[inviteaf68f0d4]

Oui c'est bien cela sauf qu'il vaudrait mieux dire que la fonction est égale à car elle ne dépend pas de .

Une autre du même genre:
Trouver toutes les fonctions continues en et en vérifiant .

Bonne chance.

en particulier quand n--->0
alors f(x)=f(1) pour tout x non nul car la fonction est continu en 1.
donc apparement c'est une fonction constante. On doit aussi considerer le cas ou x=0
Comme la fonction est continu en 0 alors f(0)=f(0+)=f(1)
donc f(x)=k

c'est bon ?
Je sais pas comment on redige ce genrre d'exo

[inviteaf68f0d4]

Bon y a une erreur au niveau des puissances

et donc quand n --->-oo
f(x)=f(1)

et puis je continue comme dans mon message precedent

[Seirios]

en particulier quand n--->0

Ici il y a une erreur, tu devrais relire l'équivalence donnée par Flyingsquirrel un peu plus haut.

[Seirios]

Moi aussi j'aime bien les équations fonctionnelles, alors je tente ma chance :

 Cliquez pour afficher

On pose ; on a et .
Soit . On a . g étant continue en 1, obtient en faisant tendre n vers l'infini : .
De plus, , donc g est paire et .
Donc les seules solutions sont les fonctions constantes.

A quoi sert l'hypothèse de continuité en 0 ? Elle ne découle pas de la parité ?

[inviteaf68f0d4]

Ici il y a une erreur, tu devrais relire l'équivalence donnée par Flyingsquirrel un peu plus haut.

J'ai corrige cette erreur

Bon y a une erreur au niveau des puissances

et donc quand n --->-oo
f(x)=f(1)

Donc la demo donnerait

et donc quand n --->-oo
f(x)=f(1)
donc pour tout x non nul car la fonction est continu en 1.
donc apparement c'est une fonction constante. On doit aussi considerer le cas ou x=0
Comme la fonction est continu en 0 alors f(0)=f(0+)=f(1)
donc f(x)=k

Je ne pense pas que la parite implique la continuite en 0

[mimo13]

 Cliquez pour afficher

Soit . On a . g étant continue en 1, obtient en faisant tendre n vers l'infini : .

Il faudrait bien distinguer le cas de .

[inviteaf68f0d4]

Comment on traite le cas x=0 ?

[Seirios]

J'ai corrige cette erreur

Il faut que n tende vers .

[inviteaf68f0d4]

Il faut que n tende vers .

Non moi j'ai travailler avec
et dans ce cas si on cela ne sert a rien par contre si on tend on aurait et donc

non ?

[Seirios]

Oui, mais dans le critère séquentielle de la convergence, on considère .

[inviteaf68f0d4]

Oui, mais dans le critère séquentielle de la convergence, on considère .

la je ne comprend pas ce que tu dis (je suis en 1S)
En plus je ne vois pas ou mon raisonnement est incorrect.
J'ai montre que pour tout x non nul on a f(x)=f(1).

[Seirios]

Il s'agit de l'équivalence donnée par Flyingsquirrel : f tend vers l en a, si et seulement si pour toute suite u telle que , .

[inviteaf68f0d4]

Il s'agit de l'équivalence donnée par Flyingsquirrel : f tend vers l en a, si et seulement si pour toute suite u telle que , .

Je veux bien mais je ne vois pas en quoi cela me contredis . J'utilise n comme "variable muette" je pouvais bien entendu utiliser m,n ,o....
J'aurais pu aussi utiliser -n et dans ce cas je dirais que -n --->-oo
et don n--->+oo

je ne vois pas ou est le probleme dans ma demo

[Seirios]

Après, cela dépend comment tu rédiges au niveau de la justification, et puis il faut voir également comment tu prouves que ; si tu l'as prouvé pour , tu seras embêté en utilisant -n...

[inviteaf68f0d4]

Après, cela dépend comment tu rédiges au niveau de la justification, et puis il faut voir également comment tu prouves que ; si tu l'as prouvé pour , tu seras embêté en utilisant -n...

Voila comment je l'ai prouve:



et toi comment tu as fais ?

[mimo13]

C'est pas aussi simple que tu le pense il te faudra pour justifier une récurrence sur qui n'est peut-être même pas juste dans ton cas....
Je te propose de tout rédiger en bonne et due forme comme ça on pourra trancher....
Sinon parler comme ça ne nous servira à rien !!

[mimo13]

Voila comment je l'ai prouve:



et toi comment tu as fais ?

Ce que tu as écrit ce n'est autre qu'une récurrence sur je précise, par suite tu ne pourra pas faire tendre car c'est un entier naturel, mais sur c'est une autre histoire....