Équation fonctionnelle

inviteaf68f0d4 · 26/12/2009, 12h35

Bonjour

Je debute en equation fonctionelle et je tombe sur cet exo:
Trouver une fonction f(x) R-->R continu en 0 tel que:
f(2x)=f(x)

Il est evident que les fonctions constantes conviennent.
Y'en a t-il d'autre ?
Si non comment demontrer cela ?

Merci

**Flyingsquirrel** · 26/12/2009, 13h05

Salut,

Envoyé par the0best

Y'en a t-il d'autre ?

Non.

Envoyé par the0best

Si non comment demontrer cela ?

On peut commencer par montrer que pour tout réel $\text{[math]}$ et pour tout entier $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Ensuite il reste à exploiter la continuité de $\text{[math]}$ en 0 pour conclure.

inviteaf68f0d4 · 26/12/2009, 13h17

Desole mais j'ai pas trop compris ce que tu propose.

On peut commencer par montrer que pour tout réel $\text{[math]}$ et pour tout entier $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Bon ok j'ai reussi a demontrer cela.

Mais apres comment on exploite la continuité en 0 ?

**Seirios** · 26/12/2009, 13h21

Bonjour,

Pour simplifier les calculs, on peut aussi poser $\text{[math]}$ ; le but est alors de montrer que pour tout réel x, $\text{[math]}$ . Comme le dit Flyingsquirrel, il suffit ensuite de montrer que $\text{[math]}$ , puis de conclure en utilisant la continuité en 0.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteaf68f0d4 · 26/12/2009, 13h27

Envoyé par Phys2

Bonjour,

Pour simplifier les calculs, on peut aussi poser $\text{[math]}$ ; le but est alors de montrer que pour tout réel x, $\text{[math]}$ . Comme le dit Flyingsquirrel, il suffit ensuite de montrer que $\text{[math]}$ .

jusque la tout va bien

mais j'arrive pas a conclure

, puis de conclure en utilisant la continuité en 0

Je ne vois pas le rapport entre ce que j'ai montrer et la continuite en 0

invitebe08d051 · 26/12/2009, 13h31

Que ce passera-t-il quand $\text{[math]}$ ???

**Flyingsquirrel** · 26/12/2009, 13h32

Envoyé par the0best

Mais apres comment on exploite la continuité en 0 ?

Tu connais la caractérisation séquentielle de la continuité ? Pour la continuité en 0 d'une fonction $\text{[math]}$ définie sur $\text{[math]}$ cela revient à dire que « $\text{[math]}$ est continue en 0 si, et seulement si, pour toute suite de réels $\text{[math]}$ de limite nulle on a $\text{[math]}$ ».

inviteaf68f0d4 · 26/12/2009, 13h41

Envoyé par Flyingsquirrel

Tu connais la caractérisation séquentielle de la continuité ? Pour la continuité en 0 d'une fonction $\text{[math]}$ définie sur $\text{[math]}$ cela revient à dire que « $\text{[math]}$ est continue en 0 si, et seulement si, pour toute suite de réels $\text{[math]}$ de limite nulle on a $\text{[math]}$ ».

non je ne connais pas. C'est de quel niveau ?

Envoyé par mimo13

Que ce passera-t-il quand $\text{[math]}$ ???

alors $\text{[math]}$ tend vers 0
donc g(x)= cte pour tout x donc f(x) est une fonction constante ?
mais le probleme c'est que quand n tend vers +oo
$\text{[math]}$ tendvers f(0) donc g(x) tend vers 0 pour tout x il y aura toujours une diffrence aussi négligeable soit elle, elle existe toujours. Peut on alors parler de fonction constante ?

invitebe08d051 · 26/12/2009, 13h53

Envoyé par the0best

il y aura toujours une différence aussi négligeable soit elle, elle existe toujours. Peut on alors parler de fonction constante ?

J'avoue que je ne vois pas cette différence dont tu parle...

**Flyingsquirrel** · 26/12/2009, 13h56

Envoyé par the0best

non je ne connais pas. C'est de quel niveau ?

Je ne sais pas mais tu n'as besoin que du sens direct (si $\text{[math]}$ est continue en 0 et si $\text{[math]}$ est une suite de réels de limite nulle alors $\text{[math]}$ ) et sa démonstration est niveau terminale.

Envoyé par the0best

alors $\text{[math]}$ tend vers 0
donc g(x)= cte pour tout x

Il faudrait justifier ce « donc ».

invitebe08d051 · 26/12/2009, 14h01

Flyingsquirrel a bien raison, ce 'donc' qui te semble si simple n'est pourtant pas vrai si la fonction n'est pas continue en 0.

>Flyingsquirrel Je n'ai vu la caractérisation séquentielle de la limite que cette année en sup.
D'ailleurs, j'ai même eu cet exo en colle

inviteaf68f0d4 · 26/12/2009, 14h02

Envoyé par Flyingsquirrel

Ce « donc » mériterait d'être justifié.

En effet $\text{[math]}$ tend vers 0 quand n--->0
donc $\text{[math]}$ tend vers f(0) car la fonction qu'on recherche est continu en 0. Donc g(x) tend vers f(0)-f(0) =0. donc la fonction est constante car pour tout x on a f(x)=f(0)

c'est ca non ?

Edit: Je pense que je vais bien aimer les equations fonctionelle

Est ce que vous avez une ou deux pas trop dur ( c'etait mon premier probleme) pour m'amuser un peu ?

invitebe08d051 · 26/12/2009, 14h12

Envoyé par the0best

En effet $\text{[math]}$ tend vers 0 quand n--->0
donc $\text{[math]}$ tend vers f(0) car la fonction qu'on recherche est continu en 0. Donc g(x) tend vers f(0)-f(0) =0. donc la fonction est constante car pour tout x on a f(x)=f(0)

c'est ca non ?

Oui c'est bien cela sauf qu'il vaudrait mieux dire que la fonction $\text{[math]}$ est égale à $\text{[math]}$ car elle ne dépend pas de $\text{[math]}$ .

Une autre du même genre:
Trouver toutes les fonctions continues en $\text{[math]}$ et en $\text{[math]}$ vérifiant $\text{[math]}$ .

Bonne chance.

inviteaf68f0d4 · 26/12/2009, 14h22

Envoyé par mimo13

Oui c'est bien cela sauf qu'il vaudrait mieux dire que la fonction $\text{[math]}$ est égale à $\text{[math]}$ car elle ne dépend pas de $\text{[math]}$ .

Une autre du même genre:
Trouver toutes les fonctions continues en $\text{[math]}$ et en $\text{[math]}$ vérifiant $\text{[math]}$ .

Bonne chance.

$\text{[math]}$
en particulier quand n--->0
alors f(x)=f(1) pour tout x non nul car la fonction est continu en 1.
donc apparement c'est une fonction constante. On doit aussi considerer le cas ou x=0
Comme la fonction est continu en 0 alors f(0)=f(0+)=f(1)
donc f(x)=k

c'est bon ?
Je sais pas comment on redige ce genrre d'exo

inviteaf68f0d4 · 26/12/2009, 14h31

Bon y a une erreur au niveau des puissances
$\text{[math]}$
et donc quand n --->-oo
f(x)=f(1)

et puis je continue comme dans mon message precedent

**Seirios** · 26/12/2009, 14h52

en particulier quand n--->0

Ici il y a une erreur, tu devrais relire l'équivalence donnée par Flyingsquirrel un peu plus haut.

**Seirios** · 26/12/2009, 14h59

Moi aussi j'aime bien les équations fonctionnelles, alors je tente ma chance

:

Cliquez pour afficher

inviteaf68f0d4 · 26/12/2009, 15h04

Envoyé par Phys2

Ici il y a une erreur, tu devrais relire l'équivalence donnée par Flyingsquirrel un peu plus haut.

J'ai corrige cette erreur

Envoyé par the0best

Bon y a une erreur au niveau des puissances
$\text{[math]}$
et donc quand n --->-oo
f(x)=f(1)

Donc la demo donnerait
$\text{[math]}$
et donc quand n --->-oo
f(x)=f(1)
donc pour tout x non nul car la fonction est continu en 1.
donc apparement c'est une fonction constante. On doit aussi considerer le cas ou x=0
Comme la fonction est continu en 0 alors f(0)=f(0+)=f(1)
donc f(x)=k

Je ne pense pas que la parite implique la continuite en 0

invitebe08d051 · 26/12/2009, 15h10

Envoyé par Phys2

Cliquez pour afficher

Il faudrait bien distinguer le cas de $\text{[math]}$ .

inviteaf68f0d4 · 26/12/2009, 15h24

Comment on traite le cas x=0 ?

**Seirios** · 26/12/2009, 15h30

J'ai corrige cette erreur

Il faut que n tende vers $\text{[math]}$ .

inviteaf68f0d4 · 26/12/2009, 15h40

Envoyé par Phys2

Il faut que n tende vers $\text{[math]}$ .

Non moi j'ai travailler avec $\text{[math]}$
et dans ce cas si on $\text{[math]}$ cela ne sert a rien par contre si on tend $\text{[math]}$ on aurait $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$

non ?

**Seirios** · 26/12/2009, 15h41

Oui, mais dans le critère séquentielle de la convergence, on considère $\text{[math]}$ .

inviteaf68f0d4 · 26/12/2009, 15h45

Envoyé par Phys2

Oui, mais dans le critère séquentielle de la convergence, on considère $\text{[math]}$ .

la je ne comprend pas ce que tu dis (je suis en 1S)
En plus je ne vois pas ou mon raisonnement est incorrect.
J'ai montre que pour tout x non nul on a f(x)=f(1).

**Seirios** · 26/12/2009, 15h48

Il s'agit de l'équivalence donnée par Flyingsquirrel : f tend vers l en a, si et seulement si pour toute suite u telle que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

inviteaf68f0d4 · 26/12/2009, 15h56

Envoyé par Phys2

Il s'agit de l'équivalence donnée par Flyingsquirrel : f tend vers l en a, si et seulement si pour toute suite u telle que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Je veux bien mais je ne vois pas en quoi cela me contredis . J'utilise n comme "variable muette" je pouvais bien entendu utiliser m,n ,o....
J'aurais pu aussi utiliser -n et dans ce cas je dirais que -n --->-oo
et don n--->+oo

je ne vois pas ou est le probleme dans ma demo

**Seirios** · 26/12/2009, 16h01

Après, cela dépend comment tu rédiges au niveau de la justification, et puis il faut voir également comment tu prouves que $\text{[math]}$ ; si tu l'as prouvé pour $\text{[math]}$ , tu seras embêté en utilisant -n...

inviteaf68f0d4 · 26/12/2009, 16h09

Envoyé par Phys2

Après, cela dépend comment tu rédiges au niveau de la justification, et puis il faut voir également comment tu prouves que $\text{[math]}$ ; si tu l'as prouvé pour $\text{[math]}$ , tu seras embêté en utilisant -n...

Voila comment je l'ai prouve:

$\text{[math]}$

et toi comment tu as fais ?

invitebe08d051 · 26/12/2009, 16h10

C'est pas aussi simple que tu le pense il te faudra pour justifier une récurrence sur $\text{[math]}$ qui n'est peut-être même pas juste dans ton cas....
Je te propose de tout rédiger en bonne et due forme comme ça on pourra trancher....
Sinon parler comme ça ne nous servira à rien !!

invitebe08d051 · 26/12/2009, 16h12

Envoyé par the0best

Voila comment je l'ai prouve:

$\text{[math]}$

et toi comment tu as fais ?

Ce que tu as écrit ce n'est autre qu'une récurrence sur $\text{[math]}$ je précise, par suite tu ne pourra pas faire tendre $\text{[math]}$ car c'est un entier naturel, mais sur $\text{[math]}$ c'est une autre histoire....

Équation fonctionnelle

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Re : equation fonctionelle

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