Equation Fonctionnelle

[invite74751338]

bSr ;

Déterminez toutes les fonctions f définies sur R et vérifiant :
f(x²+y)=f(x)+f(y²)
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[mimo13]

Bonsoir

Prenons , on a bien .

Prenons maintenant , on a alors , on se ramène donc à un problème classique, la fonction n'est autre que la fonction constante ( éventuellement de valeurs différentes selon l'intervalle car on ne dispose pas de l'hypothèse de la continuité ).

Cordialement

[KerLannais]

Salut,

l'expression constante selon l'intervalle me semble un peu flou (quel intervalle ?).

On a effectivement, du fait que ,
(*)
Sans l'hypothèse que est continue, les solutions de (*) se construisent à l'aide de certaines bases. Il s'agit de familles infinies de nombre réels, qui contiennent et qui sont une -base (algébrique) de (il en existe toujours grace à l'axiome du choix et elles ont nécessairement un cardinal indénombrable). Traduction: c'est une famille telle que
(1)

(2)

(3)

Une telle famille choisie, on peut choisir arbitarirement les valeurs de la fonction sur cette famille (les ) et pour les autres valeurs de on utilise l'écriture (qui est nécessairement unique) de qui est donnée par (2):

et on pose

On définit alors bien une fonction qui est solution de (*) et toutes les solutions de (*) s'obtiennent ainsi. De plus on peut démontrer que les seules solutions de (*) qui sont mesurables sont les fonctions linéaires (i.e. de la forme pour un certain ). Cette construction est donc également un moyen de construire des fonctions non mesurables. Par exemple on peut très bien imposer (d'après le théorème de la base imcomplète) que . Si on pose par exemple:


n'est pas linéaire puisque
elle est donc non mesurable.

Dans le cas de l'équation , ce qui précède ne marche pas. Puisque, comme je l'ai dis précédemment, on pourrait très bien avoir et le fait que impose que . Ainsi les valeurs pour et sont liées (ce qui fait tout foirer). La fonction si elle est non nulle ne saurait être linéaire pour la même raison qu'avant. Donc s'il existe des solutions non nulles, ce sont nécessairement des fonctions non mesurables très moches. Encore faut-il montrer qu'il existe des solutions non nulles.

On peut démontrer d'autre propriétés:
Le fait que et que impliquent que pour

et donc, pour on a . Du coup on a aussi:


Plus généralement, s'annule sur tout nombre réel solution d'une équation du second degré à coefficient entiers. Mais a-t-on
?
?
...

[Médiat]

Sauf erreur de ma part, il y a plus simple :
D'autre part
f(x² + y) = f(x) + f(y²)
f(x² - y) = f(x) + f(y²)
Donc f(x + y) = f(x - y), dont la seule solution est f(x)= f(0)(pour tout x, et f(0) se calcule facilement).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite74751338]

Sans compliquer les Choses !
pour x=y=0 on obtiens f(0)=0
et pour y=0 on obtiens f(x)=f(x²)
et pour y=-x² on obtiens f(0)=f(x^4)+f(x) <=> f(x²)+f(x)=0 <=> f(x²)=-f(x) (parceque f(x^4)=f(x²)
d'où f(x)=-f(x) <=> f(x)=0
réciproquement f vérifie l'équation

sauf erreur bien entendu