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équation fonctionnelle



  1. #1
    amande02

    Unhappy équation fonctionnelle


    ------

    Bonjour, je suis en PCSI, et j'ai un petit soucis avec cet exercice :


    Énoncé :
    Trouver les couples de fonctions (f,g) continues sur R et telles que, pour tout (x,y) appartenant à R² :

    f(x+y)=f(x) + f(g(y))
    g(x+y)=g(x) +g(f(y))

    Indications : on suppose que (f,g) est solution. Montrer alors que x-> f(x) - f o g(x) est constante puis que f est affine.


    Même les indications ne m'aident pas
    Quelqu'un peut-il m'aider en étant plus précis sur le commencement de la résolution de mon exercice ?
    Bonne journée

    -----

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  3. #2
    Antho07

    Re : équation fonctionnelle

    Posons h: x--> f(x)-f°g(x)

    soit x dans R

    h(x)=h(0+x)=f(0+x)-f°g(0+x)=f(0+x)-f°g(x)

    et maintenant en utilisant ce que donne l'énoncé pour f(0+x) on obtient....

  4. #3
    amande02

    Re : équation fonctionnelle

    merci beaucoup pour ton aide !

    je trouve donc h(x)=f(0) donc h est contante!

    mais comment prouver que f est affine ?

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