équation fonctionnelle

[invite3811ba77]

Bonjour, je suis en PCSI, et j'ai un petit soucis avec cet exercice :


Énoncé :
Trouver les couples de fonctions (f,g) continues sur R et telles que, pour tout (x,y) appartenant à R² :

f(x+y)=f(x) + f(g(y))
g(x+y)=g(x) +g(f(y))

Indications : on suppose que (f,g) est solution. Montrer alors que x-> f(x) - f o g(x) est constante puis que f est affine.


Même les indications ne m'aident pas
Quelqu'un peut-il m'aider en étant plus précis sur le commencement de la résolution de mon exercice ?
Bonne journée
-----

[invite7ffe9b6a]

Posons h: x--> f(x)-f°g(x)

soit x dans R

h(x)=h(0+x)=f(0+x)-f°g(0+x)=f(0+x)-f°g(x)

et maintenant en utilisant ce que donne l'énoncé pour f(0+x) on obtient....

[invite3811ba77]

merci beaucoup pour ton aide !

je trouve donc h(x)=f(0) donc h est contante!

mais comment prouver que f est affine ?