Polynôme de Lagrange

invite8741c18e · 16/11/2009, 22h03

Salut

Soit $\text{[math]}$ un entier, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ des nombres réels 2 à 2 distincts.
On définit le polynôme $\text{[math]}$
$P_{i}(X)=\frac{\prod_{1\leq j\leq n+1,j\neq i}(X-a_{j})}_{\prod_{1\leq j\leq n+1,j\neq i}(a_{i}-a_{j})}$
a)Monter que $\text{[math]}$ est une base de E.
b) Déterminer l'écriture d'un polynôme quelconque $\text{[math]}$ dans cette base en fonctions des valeurs de P en les réels $\text{[math]}$ .
merci de m'aider avec des indices.

invite57a1e779 · 16/11/2009, 22h08

Bonjour,

Pour chacune des questions, il est pratique de considérer une combinaison linéaire des polynômes $\text{[math]}$ , et d'évaluer cette combinaison linéaire aux points $\text{[math]}$ .

invite8741c18e · 16/11/2009, 22h16

merci beaucoup 'God's Breath'

je vais essayer et si j'ai des problèmes je reviendrai

.

invite8741c18e · 23/12/2009, 21h30

salut à tous.
j'ai fait le (b) mais j'en suis pas sure

.
$\text{[math]}$
or $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$
est-ce juste ?
merci.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite6f25a1fe · 23/12/2009, 21h43

à mon avis, tu confonds le ai dans le membre de gauche, avec les bi (i indice de sommation).

Pour ne pas faire de confusions, utilise j :
$\text{[math]}$
Or $\text{[math]}$

Il ne reste donc que $\text{[math]}$

invite6f25a1fe · 23/12/2009, 21h53

Au passage, tu reconnaitras l'utilité de ces polynomes de Lagrange qui consistent à interpoler un polynome (ordre quelconque). Comme tu te limites à R^n, tu obtiens exactement le polynome voulu :

en gros, si tu veux trouver ('approximer') un polynome P passant par les points d'abscisses ai et d'ordonnées bj, il suffit d'utiliser cette base de Lagrange

Tu as alors $\text{[math]}$ avec Li les polynomes de lagranges que tu définis avec les ai comme dans ton enoncé.

invite8741c18e · 23/12/2009, 21h53

Envoyé par Scorp

à mon avis, tu confonds le ai dans le membre de gauche, avec les bi (i indice de sommation).

Pour ne pas faire de confusions, utilise j :
$\text{[math]}$
Or $\text{[math]}$

Il ne reste donc que $\text{[math]}$

merci beaucoup "Scorp"

invite8741c18e · 23/12/2009, 22h53

pour le symbole de Kronecker on a,
$\text{[math]}$
mais ici on a juste le cas où $\text{[math]}$ ?
une explication ?
merci

invite6f25a1fe · 26/12/2009, 17h21

pourquoi aurait-on i différent de j ???

Tes polynomes de Lagranges Pi sont définis (cf. ton premier poste) de i=1..N+1, idem pour tes aj qui sont définis de j=1..N+1

On a alors :
P1(a1)=1
P1(a2=0
...
P2(a1)=0
P2(a2)=1
P2(a3)=0
etc...

On a donc bien $\text{[math]}$

invite8741c18e · 26/12/2009, 18h03

Envoyé par Scorp

pourquoi aurait-on i différent de j ???

Tes polynomes de Lagranges Pi sont définis (cf. ton premier poste) de i=1..N+1, idem pour tes aj qui sont définis de j=1..N+1

On a alors :
P1(a1)=1
P1(a2=0
...
P2(a1)=0
P2(a2)=1
P2(a3)=0
etc...

On a donc bien $\text{[math]}$

merci.
Happy new year

.

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