Polynome, Lagrange, SEV ... (à l'aide!)

[invitee50a1bfa]

Bonjour

je suis totalement bloqué sur les questions 2 et 3!!

Soit n appartenant à N et soient (x1, x2, ..., x(n+1) ) et (a1, a2, ..., a(n+1) ) appartenant à R^(n+1) deux n+1 uplets de réels.
On suppose les xi distincts deux à deux.
On cherche a déterminer l'ensemble des polynômes P de degré au plus n tel que P(xi)=ai pour tout i, 1 <= i <= n+1.


1) l'unicité du polynôme (démontré)

2)Montrer que pour tout k <= n+1 , l'ensemble E={P appartenant Rn[X], pour tout i appartenant [1, n+1] / {k}, P(xi)=0} est un sev de Rn[x].

3) quel est l'unique polynôme unitaire de degré n s'annulant en x2,x3,...x(n+1) ?

merci d'avance. lilia
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[invite57a1e779]

2)Montrer que pour tout k <= n+1 , l'ensemble E={P appartenant Rn[X], pour tout i appartenant [1, n+1] / {k}, P(xi)=0} est un sev de Rn[x].

3) quel est l'unique polynôme unitaire de degré n s'annulant en x2,x3,...x(n+1) ?

Pour 2), il suffit de vérifier que le polynôme nul est élément de E, puis de montrer que E est stable par combinaison linéaire.

Pour 3), c'est l'écriture d'un polynôme en fonction de son coefficient dominant et de ses racines.

[invitee50a1bfa]

mais j'arrive pas à cerner E... enfin ce qu'il y a dans l'acollade et je vois pas comment je pourrais appliquer le définition d'un sev avec ça

[invite57a1e779]

mais j'arrive pas à cerner E... enfin ce qu'il y a dans l'acollade et je vois pas comment je pourrais appliquer le définition d'un sev avec ça

est l'ensemble des polynômes de degré au plus et qui admettent pour racines.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee50a1bfa]

non j'arrive pas!! à l'aide svp

je dis que 0 est racine de P et après? c'est pas suffisant comme condition pour montrer que c'est sev.

[Flyingsquirrel]

Ensuite il faut montrer la stabilité par combinaison linéaire évoquée par God's Breath : si on prend deux constantes quelconques et deux polynôme également quelconques on doit montrer que est aussi dans E autrement dit qu'il est au plus de degré et qu'il admet tous les comme racines.

[invitee50a1bfa]

bon voilà ce que j'ai fais

2)
-0 appartient E
- soit a appartenant à R et P1, P2 appartenant à E

* 0 est racine de P1 donc aP1(xi)= a+0 = 0
* 0 est racine de P1 et P2 donc P1(xi) + P2(xi) = 0 + 0 =0

donc E est bien un sev de Rn[X].


3) finalement j'ai une idée lol

est ce que le polynome P= (x-2)(x-3)...(x-n+1) est valable?

[Flyingsquirrel]

-0 appartient E
- soit a appartenant à R et P1, P2 appartenant à E

* 0 est racine de P1 donc aP1(xi)= a+0 = 0

0 n'a pas de raison d'être une racine de P₁ ou P₂, ce sont x₁,...,x_n les racines des éléments de E.

* 0 est racine de P1 et P2 donc P1(xi) + P2(xi) = 0 + 0 =0

donc E est bien un sev de Rn[X].

Ça n'est pas suffisant, il faut montrer que toute combinaison linéaire de polynômes de E est encore un polynôme de E donc que aP₁(x_i) + bP₂(x_i) = 0 pour tout a, b réels.

3) finalement j'ai une idée lol

est ce que le polynôme P= (x-2)(x-3)...(x-n+1) est valable?

Pourquoi 2, 3,...,n+1 seraient des racines de P ? Ça ne serait pas plutôt x₂,...,x_n+1 ? Sinon, oui, c'est cette idée là qu'il faut exploiter.