Distance d'un vecteur a un sev...

[Gpadide]

Bonjour, je cherche a montrer que :



admet un minimum absolu et déterminer le couple (a,b) correspondant.
Pour ca j'ai remarqué que le min etait atteint en d(x,F), en notant x = (x1,...,xn), y =(y1,...,yn) , F = Vect(x,u) et u = (1,...,1).

Pour calculer cette distance, il suffit de connaitre l'expression de la norme du projeté orthogonal de x sur F.

C'est la que je bloque: mon idée etait de construire une bon de F avec Graam Schmidt mais je tombe tres vite sur des choses assez lourdes. Y a t il une autre methode pour exprimer cette projection ?
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[zoup1]

Tu peux déjà supprimer la racine carré qui ne sert à rien pour déterminer le minimum...
Je pense que ce que tu cherche c'est le minimum où tes variables sont a et b. Il tesufit alors de dériver ton expression par rapport à a et à b, les xi et yi sont simplement des nombres (constants)

[invite4ef352d8]

enfin je pense qu'utiliser la géométrie n'est pas plus mal quand meme.

tu cherche effectivement la distance entre y et F=vect(x,u)

pour cela il faut effectivement un Bon de F, que tu obtiens effectivement avec l'orthognolasition de schmidt... qui n'a qu'une seul etape puisuqe F est de dimension 2 !

tu cherche x'=x-l*u telle x'.u=0, donc x.u-lu²=(somme des xi)-ln

donc l=(somme des xi)/n

je te laisse terminer (normaliser les vecteurs, et conclure sur la valeur de a et b...)