Serie téléscopique et parties entieres

[invite42abb461]

Bonjour, je cherche a déterminer la somme de la serie de terme général :



Ca ressemble a du téléscopage, j'ai essayé d'encadrer mais j'ai juste une majoration (enfin une minoration par zero mais bon...).
Suis-je sur la bonne voie ?
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[invitefcdf698a]

Bonjour,

Peut-être que tu pourrais y arriver en groupant des termes. Indication: pour quelles valeurs de k le terme général est-il non nul?

[invite4af455c2]

C'est marrant si on essaye de passer par télecopage ca donne quelque chose de moche .
Bon sinon il est assez facile de voir quels termes vont êtres nuls et lesquels vont être égales à
On remarque que ce sont : 3,8,24 par calcul et sans problème je te dit 35,49,63,80 et on peut continuer longtemps si on comprend bien le mécanisme.

Je planche sur la suite ...

Edit: c'est bon solution trouvée , une fois qu'on a vu l'astuce et le mécanisme c'est automatique , on te laisse un peu chercher avec les indications.

[invite3240c37d]

D'après moi ça donne ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4af455c2]

C'est bizarre , je trouve la même chose . Quelle méthode utilise-tu?

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Avec la remarque faite on remarque que seuls les antécédents des carrés parfaits n'annulent pas la suite définie.
d'où : .
Puis avec une décomposition en élément simple , changement d'indice et tout ce simplifie pour donner 3/4

[invite42abb461]

je ne comprends pas du tout comment vous faites pour savoir quels termes vont etre nuls. Je précise que c'est un exo d'oral et que l'on a pas droit a la calculette, donc, tres vite, pour les premiers termes, c'est rapé pour une vérification. De plus je ne vois pas comment justifier rigoureusement que certains termes vont etre nuls dans le cas général. Sur la partie entiere, je ne connais que la définition moi, qui ne sert pas bcp ici...

[invite4af455c2]

La solution est dans le spoiler , les termes de la forme avec a un entier naturel sont les seuls termes qui n'annulent pas celui-ci :
et ils donnent 1 par la même occasion. Pas besoin de calculette , il suffisait de savoir calculer des carrés...

Bon après je recopie :


Cette somme beaucoup plus simple se calcule simplement par une décomposition en éléments simples ce qui donne:


Et enfin:


Pour les termes utilisent les inégalités sur la racine et il n'y a qu'une forme qui n'annule pas la différence.

[invite42abb461]

Toute la partie que tu as écrite c celle qui me génait pas. Ce que je n'ai toujours pas compris, c comment on montre que seuls les carrés parfaits n'annulent pas le dénominateur...

[invite4af455c2]

Oulala je viens de me rendre compte que l'inégalité que j'utilisais ne marchais pas! Tu me pose une colle là , de façon rigoureuse je suis incapable pour le moment de retrouver le résultat. A l'oral je pense que cela peut passer , où a tu trouver cet exo cela m'intéresse.
Je me demande si il me manque pas des théorèmes d'arithmétique qui ne sont pas à mon programme.