[Tenseur métrique] Erreur de calcul introuvable

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai essayé d'exprimer ds² en coordonnées polaires en utilisant le tenseur métrique, mais en comparant le résultat correcte trouvé sur wikipédia, et le miens, je trouve une petite erreur, mais une erreur que je n'arrive pas à dénicher...

On a donc

Je calcul la matrice jacobienne de ces équations :

Puis sa transposée :

J'effectue ensuite le produit de ces deux matrices :

Le tenseur métrique peut donc être écrit :

Or, selon wikipédia :


Voilà, quelqu'un pourrait-il m'aider à trouver mon erreur ?

Merci d'avance
Phys2
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[invite7553e94d]

Bonjour.
Il n'y a aucune erreur de calcul dans ton message (vérifié de tête puis avec une machine). Wikipédia n'est pas une source sure, des erreurs peuvent s'y cacher. Tu en a peut-être déniché une. Si c'est le cas, n'oublie pas d'aller rectifier le tir sur la page du wiki

[Calvert]

Salut!

Il y peut-être aussi une question de covariance/contravariance. Puisque l'on a:



les deux résultats ci-dessus sont équivalents (une fois sous forme covariante, une fois sous forme contravariante).

[Calvert]

Petite précisions. Je tire ceci de la page de wikipédia:

Pour calculer le tenseur métrique à partir des équations donnant la relation entre l'espace considéré et un espace cartésien, c'est-à-dire un espace pour lequel gij = δij (cfr. delta de Kronecker), il faut calculer le jacobien des ces équations. Le tenseur métrique est le produit de ce jacobien par sa transposée

Ce que tu as fait, à mon avis, c'est juste le contraire: tu donnes les coordonnées polaires en fonction des coordonnées cartésiennes. Or, si tu considères l'expression des coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées polaires:




et que tu appliques ce que tu as fait, tu trouveras le résultat de wikipédia.

D'ailleurs, l'élément de longueur est donné par:



dans ce cas, ce qui est correct.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8915d466]

effectivement, la loi de transformation des tenseurs covariants s'exprime à partir des dérivées des anciennes coordonnées par rapport aux nouvelles (donc les etc... Tu as calculé la matrice de passage d'un tenseur contravariant, donc ça te donne effectivement les et non les

[Seirios]

J'ai donc calculé la matrice de passage d'un tenseur métrique contravariant. Avec vos remarques j'ai pu trouver le bon résultat : On a , puis j'ai trouvé que et , puisque . J'obtiens donc le résultat final : .

Merci à vous trois pour votre aide