Résolution système à 3 inconnues

[invitebb921944]

Bonjour tout le monde !
Je dois résoudre un système qui me pose problème :



J'ai beau essayer je n'arrive pas à séparer les variables.
On m'avait conseillé de multiplier les fractions par xyz mais je bloque quand même.

Merci d'avance.
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[invitedf667161]

Ah, revoilà la recherche de l'extremum de ta fonction sur la sphère !

Au passage tu as du faire une petite faute de frappe dans la première équation.

Je t'avoue que, au moment où je te répondais sur le problème des extrema liés, le système ne me faisait pas peur. Mais là, en y regardant de plus près, il peut en effet être délicat. As-tu essayé de demander à Maple ce qu'il en pense ?
Sinon, peut-être que dans le problème tu as déjà fait des questions qui peuvent aider pour celle-ci...

[invitebb921944]

Rebonjour
La question est tout à fait indépendante du reste de l'examen et je n'ai pas maple !

Je ne vois vraiment pas comment faire, je me demande s'ils ne se sont pas gourrés à poser ça en examen...

Cela dit pour écrire le système comme cela, j'ai sauté les cas ou : y=0, x=0 et z=0, en gros il n'y a que le cas ou x y et z sont tous différents de 0 que je n'arrive pas à étudier, je vais faire les autres en attendant un peu d'aide ^^

Merci bien en tout cas !

[invite25f6ab48]

la dernière équation me fait penser a celle d'un cercle avec pour centre l'origine du coup on voit bien que x dépend de y, y de z.... si ca peut aider

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Bon alors en fait pour l'inf de la fonction c'est pas très difficile : c'est 0 puisque dès qu'on pose une seule des 3 variables = 0, alors on obtient g(x,y,z)=0 et étant donné que cette fonction est une somme de carrés, 0 est nécessairement l'inf de la fonction.

Reste à trouver le sup...

[invite4af455c2]

L'utilisation de formes quadratiques ne pourraient-elles pas servir pour la résolution , en écrivant matriciellement ...? C'est une piste mais je ne sais pas trop comment mettre en oeuvre pour un sytème!

[invitebb921944]

la dernière équation me fait penser a celle d'un cercle avec pour centre l'origine du coup on voit bien que x dépend de y, y de z.... si ca peut aider

Merci mais ça ne m'avance pas beaucoup

Bon je crois que j'ai enfin trouvé !

Je developpe g(x,y,z) et j'obtiens :
g(x,y,z) = x²+y²+z²+2x²+y²+4xy+2xz+2yz = 2x²+y²+4xy+2xz+2yz+1

dg=[4x+4y+2z]dx+[4x+2y+2z]dy+[2x+2y]dz

Cela simplifie considérablement les calculs, j'arrive à exprimer x, y et z en fonction de lambda.

Puis je détermine lambda (j'obtiens -1 ou (sqrt(13)+3)/2 ou -(sqrt(13)-3)/2)
g(x,y,z) est maximum lorsque lambda = (sqrt(13)+3)/2