Système de 4 équations à 4 inconnues

[Diator]

Bonjour,

J'aimerais résoudre le système suivant mais je n'y parviens pas, auriez-vous une astuce pour commencer?



Les inconnues sont : x, y, z et r

Merci d'avance

@+
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[rvz]

Salut,

Tu peux d'abord essayer de faire comme si r était connu. Sauf erreur, ça va te permettre de déterminer x, y et z en bidouillant un peu les équations. Après, tu n'as qu'à vérifier que r peut vérifier les 4 équations en même temps, et tu obtiendras des Conditions Nécessaires et suffisantes de solubilité du système, ainsi que la (ou les) solution(s) correspondantes.

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rvz

[ericcc]

Pas mieux !

En fait le système se simplifie grandement car tout les termes carrés disparaissent quand on développe les premiers membres.

[Diator]

Salut,

Merci de ton aide, on supposant que l'on connaisse r voilà ce que je trouve :



Après, je ne vois pas bien comment faire pour obtenir r. En remplacant x, y et z par les valeurs précédentes dans la première equation du système (x²+y²+z²=r²)? J'ai essayé mais ca me donne une équation bien compliquée.


@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[rvz]

C'est normal.

L'intersection de 4 cercles est en général vide.

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rvz

[rvz]

Note : L'équation en r n'est que quadratique. Autant dire que ça n'a rien de monstrueux, même s'il faut bien reconnaître que les coefficients sont degueu.

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rvz

[Diator]

Il s'agit ici de l'intersection de 4 sphères, ca devrait être un point.

[DSCH]

Il s'agit ici de l'intersection de 4 sphères, ca devrait être un point.

Génériquement, l'intersection de quatre sphères est vide (quatre contraintes dans un espace à trois degrés de liberté). C'est celle de trois sphères qui est un point (enfin, en pratique, plutôt une paire de points ; en tout cas quelque chose de dimension nulle).

Maintenant, si on a le choix des rayons, on peut en effet s'arranger pour être dans une situation dégénérée où l'intersection des quatre sphères n'est pas vide…

[Diator]

Dans mon cas, comment trouver r à partir des x, y et z ?

Merci

@+

[DSCH]

Les trois formules pour , et que tu as trouvées dans le message #4 de ce fil sont des conditions nécessaires. À partir de ces formules, tu peux calculer la somme , et en écrivant que celle-ci doit être égale à , cela te donne une équation de degré deux (sauf cas dégénéré) d'inconnue .

Tu peux d'ailleurs faire la même chose en calculant , etc.

J'ai tout de même l'impression que toutes ces conditions nécessaires risquent d'être incompatibles si , , sont quelconques et imposés ; ou alors le problème admet des symétries qui m'échappent (je n'ai eu le temps de regarder en détail)… De toute façon, sauf si des simplifications m'échappent, il me semble pénible de faire les calculs sans l'assistance d'un logiciel de calcul formel.

[gillesblanc]

Bonjour,

J'aimerais résoudre le système suivant mais je n'y parviens pas, auriez-vous une astuce pour commencer?



Les inconnues sont : x, y, z et r

Merci d'avance

@+

bonjour j'ai trouve ca fait 2 semaines que je cherche pas un logiciel trouve systeme lineaire a 4 inconnues et 4 equations j'ai lu votre forum j'ai suppose w+1 et ca marche
3x=2y-w=0
2x+z+2w=5
x+2y -z=-2
2x-y+z+w=2 avec w=1 supposition j'ai trouve en 5 minutes x=1,y=2,z=5,w=1

[gillesblanc]

x+3y-2x-w=9
4x+y+z+2w=2
-3x-y+z-w=-5

x-y-3z-2w=2

supposons w=1 on trouve x=0,y=2,z=-2,w=1 merci