les ouverts fermés

[invitedff4fa84]

Salut,
En révisant le cours des EVN j'ai trouvé que l'ensemble vide et l'espace lui même sont des ouverts et fermés en même temps, ce qui est évident, mais comment prouver leur unicité ??
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[inviteea028771]

Personnellement je montrerai que tout evn est connexe, ce qui implique que les deux seuls ouverts-fermés de cet espace sont l'ensemble vide et l'evn tout entier

Après pour montrer la connexité, dans le cas d'un R ou C ev, j'utiliserai la connexité par arcs.

[invitebe08d051]

Salut,
En révisant le cours des EVN j'ai trouvé que l'ensemble vide et l'espace lui même sont des ouverts et fermés en même temps, ce qui est évident, mais comment prouver leur unicité ??

Ça c'est un classique.

Soit un telle partie de que je noterai .
En considérant la fonction caractéristique de , notée qui vaut sur et sinon, on peut montrer qu'elle est continue. (En utilisant par exemple la définition)

E étant convexe, il est connexe par arcs et donc est un connexe par arcs et comme alors ou ce qui correspond bien à ou vide.


P.S: Pour les rigoureux, ceci n'est pas une démonstration mais juste les grandes lignes.

[invitebe08d051]

Personnellement je montrerai que tout evn est connexe, ce qui implique que les deux seuls ouverts-fermés de cet espace sont l'ensemble vide et l'evn tout entier

Après pour montrer la connexité, dans le cas d'un R ou C ev, j'utiliserai la connexité par arcs.

Il est vrai que cette assertion équivaut à la connexité de E.

Il y a seulement deux problèmes, primo ça sera un peu trop facile, et secundo la connexité n'est pas au programme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Salut !


si tu parle de classe prépa, le terme connexité n'est pas au programme, mais sauf erreur le fais que dans un espace connexe par arc il n'y a pas de sous espace à la fois ouvert et fermé est au programme (en tous cas, je connais une bonne vingtaine d'exercice de concours oraux et ecrits qui utilise ceci... donc même si c'est pas au programme ca serais du suicide de pas vouloir l'utiliser.... )