Hyperplans, fermés, ouverts

[invite97a526b6]

Bonjour,
Voici 6 questions liées entre elles auxquelles j'aimerais bien avoir une réponse et pardon si ces questions n'étaient pas des plus pertinentes.

Dans un espace vectoriel normé V sur le corps F (= R ou C), on sait que les noyaux des formes linéaires continues sont les hyperplans fermés de V.

Mais qu'en est-il de toutes les formes linéaires (continues ou non):
1. Leurs noyaux sont-ils les hyperplans ouverts contenus dans les précédents ?
2. Les frontières de ces hyperplans sont-elles les noyaux des formes linéaires discontinues ?
3. Les noyaux des formes linéaires discontinues sont-ils aussi des sous-espaces vectoriels ? Si oui de quelle codimension ? codim=1 ?
4. Si H est le noyau d'une forme linéaire continue, V est-il somme directe de H et d'une droite vectorielle comme en dimension finie ?
5. Même question si H est le noyau d'une forme linéaire quelconque ?
6. Même question si H est le noyau d'une forme linéaire discontinue ?

Merci à ceux qui me donneront des éléments de réponse.
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[invite35452583]

Commençons par le plus simple : questions 3 à 6.
Soit E un K-espace vectoriel et f:E->K une forme linéaire quelconque.
On note H le noyau de f et soit x un élément de E\H (existe si et seulement si f n'est pas la forme nulle).
Alors E=H+K.x (somme directe)

E est la somme de H et de K.x, en effet :
soit y dans E, on a f(y)=(f(y)/f(x)).f(x) avec k=f(y)/f(x) dans K (existe car f(x) est non nul car n'est pas dans H).
On a donc f(y)=k.f(x) et f(y-k.x)=0 donc y-k.f(x) est dans H.
Ainsi, y=(y-k.x) + kx est bien dans E+K.x

La somme est directe, en effet :
soit y dans H et dans K.x, on a alors y=k.x avec k dans K. On a aussi 0=f(y)=f(k.x)=k.f(x), or f(x) est non nul et K est un corps donc k=0, il s'en suit que y=0.

[invite35452583]

Un peu de topologie :
Un sev de codimension 1 d’un ev topologique est soit fermé soit dense.
En effet :
La fermeture d’un sev est un sev
Stabilité par somme : soit x et y dans la fermeture, à montrer que x+y l’est aussi
Or, s : ExE->E qui à (u,v) associe u+v est continue donc soit U un ouvert contenant x+y, s-1(U) contient un ouvert contenant (x,y) d’où un ouvert du type U’xV’ U’ contenant x et V’ contenant y. Or par hypothèse U’ et V’ contiennent un élt du sev resp. x’ et y’ donc U contient x’+y’, par déf de U’ et de V’, or cet élt est dans le sev. Donc chaque ouvert ontent x+y contient un élt du sev donc x+y est dans la fermeture de ce sev.
On montre de la même manière la stabilité par multiplication par un scalaire.
Si le sev n’est pas fermé la fermeture contient le sev et un élt ne le contenant pas mais le sev engendré par eux est l’ev en entier donc le sev est dense.

On montre alors que f discontinue équivaut à noyau dense.

A remarquer que jusqu’à présent il n’y aucune hypothèse sur K (à part être un corps topologique pour le résultat topologique)

Un noyau d’une forme peut-il être ouvert ?
Si la forme est fermée alors le noyau est ouvert et fermé donc l’ev n’est pas connexe or un K(=R ou C) ev est connexe par arcs, contradiction.

[invite97a526b6]

Un peu de topologie :
Un sev de codimension 1 d’un ev topologique est soit fermé soit dense.
En effet :
La fermeture d’un sev est un sev
Stabilité par somme : soit x et y dans la fermeture, à montrer que x+y l’est aussi
Or, s : ExE->E qui à (u,v) associe u+v est continue donc soit U un ouvert contenant x+y, s-1(U) contient un ouvert contenant (x,y) d’où un ouvert du type U’xV’ U’ contenant x et V’ contenant y. Or par hypothèse U’ et V’ contiennent un élt du sev resp. x’ et y’ donc U contient x’+y’, par déf de U’ et de V’, or cet élt est dans le sev. Donc chaque ouvert ontent x+y contient un élt du sev donc x+y est dans la fermeture de ce sev.
On montre de la même manière la stabilité par multiplication par un scalaire.
Si le sev n’est pas fermé la fermeture contient le sev et un élt ne le contenant pas mais le sev engendré par eux est l’ev en entier donc le sev est dense.

On montre alors que f discontinue équivaut à noyau dense.

A remarquer que jusqu’à présent il n’y aucune hypothèse sur K (à part être un corps topologique pour le résultat topologique)

Un noyau d’une forme peut-il être ouvert ?
Si la forme est fermée alors le noyau est ouvert et fermé donc l’ev n’est pas connexe or un K(=R ou C) ev est connexe par arcs, contradiction.

Merci, homotopie pour tes réponses.
J'ai aussi trouvé un exercice tiré de "Toplogie et Analyse fonctionnelle" de Yves Sontag (excellent bouquin) page 467 qui éclaire bien ce sujet. Cet exercice démontre :

(E, || ||) e. v. n., dim E > 1, E' = dual topologique, E* = dual algébrique.

1. f app (E' - {0}) => (E - ker f) est non connexe par arcs (en laguage imagé, le noyau d'une forme linéaire continue est un hyperplan "étanche").

2. (E - ker f) a deux composantes connexes.

3. Il existe f app (E* - E'), c.à d. f forme linéaire discontinue, (E - ker f) est connexe par arcs. Un exemple est cité dans l'exercice. En language imagé, ker f est alors un hyperplan "poreux".
Cela suggère une autre question : Est -ce qu'on peut généraliser au noyau de toute forme linéaire discontinue : le noyau ne sépare alors pas l'espace E en parties non connexes ? En d'autres termes, les noyaux de toutes les formes linéaires discontinues seraient "poreux" ? Cela semble découler de ton observation à savoir le noyau est dense dans l'hyperplan fermé lequel est le noyau des formes continues.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Cela suggère une autre question : Est -ce qu'on peut généraliser au noyau de toute forme linéaire discontinue : le noyau ne sépare alors pas l'espace E en parties non connexes ? En d'autres termes, les noyaux de toutes les formes linéaires discontinues seraient "poreux" ? Cela semble découler de ton observation à savoir le noyau est dense dans l'hyperplan fermé lequel est le noyau des formes continues.

Pour un R-evn alors oui le noyau d'une forme discontinue est "poreux" :
1) f^-1(R⁺*) et f^-1(R^-*) sont connexes par arcs (comme pour le cas continue)
Il suffit de le montrer pour le 1er (pour le second on compose tout par l'application continue x(-1))
Soient x et y tels que f(x) et f(y) >0, alors c : [0,1]->E c(t)=(1-t)x+ty est continue car la somme et la multiplication par un scalaire sont continues, on a c(0)=x c(1)=y. De plus f(c(t))=(1-t)f(x)+tf(y) est dans R⁺* car celui-ci est connexe par arcs.
2) pour un élément x hors noyau on peut créer un chemin continu allant de -x/2 à x/2 sans passer par le noyau
Pour cela on va d'abord construire un chemin continu essentiellement dans K commençant en 0 et aboutissant en x.
Comme le noyau K est dense dans E, il existe une suite (x_n)_n>0 convergeant vers x (on ne change rien à cela en remplaçant si nécessaire x₁ par 0). On définit alors le chemin c ainsi :
c(1-1/n)=x_n c(1-1/(n+1))=x_n+1 c est affine entre 1-1/n et 1-1/(n+1)
c(1)=x
Sur [0,1[ le chemin est affine par morceaux donc continu et c([0,1[) est dans K.
En 0, c([1-1/n;1-1/(n+1)] est le segment x_nx_n+1 donc on a pour tout t dans [1-1/n;1-1/(n+1)] llxc(t)ll<=llxx_nll+llx_nc(t)ll<=llxx_nll+llx_n+1x_nll<=2llxx_nll+llx_n+1ll
ce qui tend vers 0 quand n tend vers +infini (et donc quand 1-1/n tend vers 1).

Maintenant, on considère le chemin continu d : t->-x/2+c(t)
d est continu car somme dans E et c sont continus.
Ce chemin commence en d(0)=-x/2+c(0)=-x/2+x₁=-x/2+0=-x/2
termine en d(1)=-x/2+c(1)=-x/2+x=x/2
On a pour t dans [0,1[, f(d(t))=f(-x/2+c(t))=f(-x/2)+f(c(t))=f(-x/2)+0=-f(x)/2 donc d(t) n'est pas dans K.

[invite97a526b6]

[QUOTE=homotopie;1489017]Pour un R-evn alors oui le noyau d'une forme discontinue est "poreux" :
1) f^-1(R⁺*) et f^-1(R^-*) sont connexes par arcs (comme pour le cas continue)


f^-1(R⁺*) et f^-1(R^-*) sont déjà connexes par arcs. Je suppose que tu veux dire "leur réunion est connexe par arcs" (c'est ce que tu démontres)

Cela me semble valable aussi en remplaçant le corps R par C ?

[invite97a526b6]

Pour un R-evn alors oui le noyau d'une forme discontinue est "poreux" :
1) f^-1(R⁺*) et f^-1(R^-*) sont connexes par arcs (comme pour le cas continue)
Il suffit de le montrer pour le 1er (pour le second on compose tout par l'application continue x(-1))
Soient x et y tels que f(x) et f(y) >0, alors c : [0,1]->E c(t)=(1-t)x+ty est continue car la somme et la multiplication par un scalaire sont continues, on a c(0)=x c(1)=y. De plus f(c(t))=(1-t)f(x)+tf(y) est dans R⁺* car celui-ci est connexe par arcs.
2) pour un élément x hors noyau on peut créer un chemin continu allant de -x/2 à x/2 sans passer par le noyau
Pour cela on va d'abord construire un chemin continu essentiellement dans K commençant en 0 et aboutissant en x.
Comme le noyau K est dense dans E, il existe une suite (x_n)_n>0 convergeant vers x (on ne change rien à cela en remplaçant si nécessaire x₁ par 0). On définit alors le chemin c ainsi :
c(1-1/n)=x_n c(1-1/(n+1))=x_n+1 c est affine entre 1-1/n et 1-1/(n+1)
c(1)=x
Sur [0,1[ le chemin est affine par morceaux donc continu et c([0,1[) est dans K.
En 0, c([1-1/n;1-1/(n+1)] est le segment x_nx_n+1 donc on a pour tout t dans [1-1/n;1-1/(n+1)] llxc(t)ll<=llxx_nll+llx_nc(t)ll<=llxx_nll+llx_n+1x_nll<=2llxx_nll+llx_n+1ll
ce qui tend vers 0 quand n tend vers +infini (et donc quand 1-1/n tend vers 1).

Maintenant, on considère le chemin continu d : t->-x/2+c(t)
d est continu car somme dans E et c sont continus.
Ce chemin commence en d(0)=-x/2+c(0)=-x/2+x₁=-x/2+0=-x/2
termine en d(1)=-x/2+c(1)=-x/2+x=x/2
On a pour t dans [0,1[, f(d(t))=f(-x/2+c(t))=f(-x/2)+f(c(t))=f(-x/2)+0=-f(x)/2 donc d(t) n'est pas dans K.

Je ne comprends pas quand tu dis "Comme le noyau K est dense dans E...". Le noyau étant un hyperplan de E, il ne peut être dense dans E: son adhérence doit être justement l'hyperplan fermé, noyau des formes continues ?

[invite35452583]

[QUOTE=FAN FAN;1489245]

Pour un R-evn alors oui le noyau d'une forme discontinue est "poreux" :
1) f^-1(R⁺*) et f^-1(R^-*) sont connexes par arcs (comme pour le cas continue)


f^-1(R⁺*) et f^-1(R^-*) sont déjà connexes par arcs. Je suppose que tu veux dire "leur réunion est connexe par arcs" (c'est ce que tu démontres)

Oui je décompose E-ker(f) en deux parties dont je rappelle qu'elles sont connexes, puis je montre que si f est discontinue et donc ker(f) dense alors on peut joindre un point de chaque partie donc le tout (ou union) est connexe.

Cela me semble valable aussi en remplaçant le corps R par C ?

Il est trivial que le noyau d'une C-forme linéaire (continue ou discontinue) est connexe par arcs.

Je ne comprends pas quand tu dis "Comme le noyau K est dense dans E...". Le noyau étant un hyperplan de E, il ne peut être dense dans E: son adhérence doit être justement l'hyperplan fermé, noyau des formes continues ?

J'ai montré à mon 2ème post que le noyau d'une fonction discontinue étant un sev de codimension 1 non fermé il est dense.
Qu'est-ce que le "noyau des formes continues" ?

[invite35452583]

Il est trivial que le noyau d'une C-forme linéaire (continue ou discontinue) est connexe par arcs.

Je veux dire le complémentaire du noyau (quoique pour le noyau ce soit vrai aussi et de manière encore plus évidente).

[invite97a526b6]

[QUOTE=homotopie;1490341]

Oui je décompose E-ker(f) en deux parties dont je rappelle qu'elles sont connexes, puis je montre que si f est discontinue et donc ker(f) dense alors on peut joindre un point de chaque partie donc le tout (ou union) est connexe.


Il est trivial que le noyau d'une C-forme linéaire (continue ou discontinue) est connexe par arcs.


J'ai montré à mon 2ème post que le noyau d'une fonction discontinue étant un sev de codimension 1 non fermé il est dense.
Qu'est-ce que le "noyau des formes continues" ?

Je veux dire évidemment le noyau "d'une" forme continue et non pas "des" formes...
Quand tu dis que le noyau d'une forme continue est dense, tu veux dire "dense dans quoi ?", pas dans E évidemment ? Dense dans son adhérence ce qui est trivial ?

Autre question : Soit f une forme linéaire discontinue, Ker f est un hyperplan de E. Quelle relation existe entre la forme f et les formes g (il y en a plusieurs à une cte multiplicative près) telles que Ker g = Adh (Ker f). On sait déjà que g est un forme continue. Il doit y avoir une partie de E sur laquelle les deux formes coincident ? Peut-on expliciter cette partie ? Je suppose que c'est l'ensemble de continuité de f. Ce qui voudrait dire qu'une forme linéaire discontinue a toujours un sous-ensemble de continuité non vide ?
Je ne sais si cette question est pertinente ?

[invite35452583]

Quand tu dis que le noyau d'une forme continue est dense, tu veux dire "dense dans quoi ?", pas dans E évidemment ? Dense dans son adhérence ce qui est trivial ?

J'ai montré à mon 2ème post que le noyau d'une fonction discontinue étant un sev de codimension 1 non fermé il est dense

dense dans E donc. J'ai montré que la fermeture (ou adhérence) d'un sev est un sev. Si on a affaire à un sev V de codimension 1, on a soit V fermé (par exemple le noyau d'une forme continue) et donc cette fermeture est tout simplement V, soit V n'est pas fermé (par exemple le noyau d'une forme discontinue) et cette fermeture contient alors le sev de codimension 1 v et au moins un autre vecteur qui n'est pas dans V, un tel sev ne peut être que E.

Autre question : Soit f une forme linéaire discontinue, Ker f est un hyperplan de E. Quelle relation existe entre la forme f et les formes g (il y en a plusieurs à une cte multiplicative près) telles que Ker g = Adh (Ker f). On sait déjà que g est un forme continue. Il doit y avoir une partie de E sur laquelle les deux formes coincident ? Peut-on expliciter cette partie ? Je suppose que c'est l'ensemble de continuité de f. Ce qui voudrait dire qu'une forme linéaire discontinue a toujours un sous-ensemble de continuité non vide ?
Je ne sais si cette question est pertinente ?

Non cette question n'est pas vraiment pertinente car Adh( ker f)=E (cf. ci-avant) donc ker(g)=E et g est la forme nulle (donc unique).
D'autre part l'extension d'une application discontinue (ou moins dans un métrique mais je pense aussi dans un espace topologique quelconque mais je n'en suis pas sûr) est aussi discontinue. Si f est discontinue il existe une suite xn convergeant vers x (un point de discontinuité quelconque) mais f(xn) ne tend pas vers f(x). Cette obstruction à la continuité reste pour toute extension de f.
Quant à la question de savoir si une forme discontinue admet des sous-parties A de E tels que f soit continue sur A, bien sûr que oui (pour les evn*) à commencer par tous les sev de dimension finie. Y-a-t-il une plus grande sous-partie, pour l'inclusion, de continuité de f ? Non (pour un evn tout du moins), cette plus grande partie devrait contenir tous les sev de dimension finie, en particulier ceux de dimension 1, or leur union est E tout entier.

Je veux dire évidemment le noyau "d'une" forme continue et non pas "des" formes...

OK je comprends mieux (surtout avec les précisions de ton dernier message). Maintenant je crois avoir répondu.

[invite97a526b6]

Merci pour toutes ces précisions.
En ce qui concerne le noyau d'une forme linéaire discontinue, j'ai bien noté qu'il était dense et "poreux" dans l'e v E. C'est assez contre-intuitif: étant de codimension 1 (hyperplan), j'ai du mal à me le représenter notamment que toute boule de E intersecte cet hyperplan. Je me représente plutôt un hyperplan comme "une surface" qui "sépare" E en deux 1/2 espaces. Ces propriétés propres à la dimension infinie sont difficiles à imager !

Une autre question (si je n'abuse pas !):
Dans un espace métrique non compact, les parties bornées contiennent bien les parties précompactes ?
Je n'arrive à trouver une démonstration correcte mais j'ai la conviction que c'est vrai...

[invite35452583]

Ces propriétés propres à la dimension infinie sont difficiles à imager !

Oui, ça demande du temps pour s'y habituer.

Dans un espace métrique non compact, les parties bornées contiennent bien les parties précompactes ?

Ta question est ambiguë.
Si tu veux dire qu'une partie précompacte P est inclus dans une partie bornée, autrement dit elle est bornée, alors oui. 1>0 donc il existe un recouvrement de P par des boules de rayon 1, soit x dans P fixé et y dans P, il existe une boule de centre x_jcontenant y, on a d(x,y)<=d(x,x_j)+d(x_j,y)<=d(x,x_j)+1<=max_i(d(x,x_i))+1 ce qui est fini car il n'y a qu'un nombre fini de boules.
Maintenant si tu veux dire que pour être précompact il suffit d'être contenu dans une partie bornée, autrement dit être bornée est suffisant pour être précompact : non pas en général, bien que ce soit vrai dans les R-ev normé de dimension fini.
Par exemple sur R, d(x,y)=max(ly-xl,1) est une distance topologiquement équivalente à la distance habituelle. Mais il est impossible de recouvrir R (ou n'importe quelle partie non bornée pour la distance usuelle) par un nombre fini de boules de rayon e<1 car on a alors d(x,y)=lx,yl.
Autre exemple, dans un R-evn complet de dimension infini, si une boule fermée B'(x,r) est précompact, c'est un sous-espace précompact et complet (un fermé d'un complet est complet) donc compact (contradiction avec R-ev normé de dimension infinie d'intérieur non vide).

[invite97a526b6]

Oui, ça demande du temps pour s'y habituer.

Ta question est ambiguë.
Si tu veux dire qu'une partie précompacte P est inclus dans une partie bornée, autrement dit elle est bornée, alors oui. 1>0 donc il existe un recouvrement de P par des boules de rayon 1, soit x dans P fixé et y dans P, il existe une boule de centre x_jcontenant y, on a d(x,y)<=d(x,x_j)+d(x_j,y)<=d(x,x_j)+1<=max_i(d(x,x_i))+1 ce qui est fini car il n'y a qu'un nombre fini de boules.
Maintenant si tu veux dire que pour être précompact il suffit d'être contenu dans une partie bornée, autrement dit être bornée est suffisant pour être précompact : non pas en général, bien que ce soit vrai dans les R-ev normé de dimension fini.
Par exemple sur R, d(x,y)=max(ly-xl,1) est une distance topologiquement équivalente à la distance habituelle. Mais il est impossible de recouvrir R (ou n'importe quelle partie non bornée pour la distance usuelle) par un nombre fini de boules de rayon e<1 car on a alors d(x,y)=lx,yl.
Autre exemple, dans un R-evn complet de dimension infini, si une boule fermée B'(x,r) est précompact, c'est un sous-espace précompact et complet (un fermé d'un complet est complet) donc compact (contradiction avec R-ev normé de dimension infinie d'intérieur non vide).

Merci pour ta réponse. Je voulais bien dire "l'ensemble des parties compactes est inclu dans les parties bornées". La réciproque n'est évidemment pas vraie puisque que, par exemple, une CNS pour qu'un espace vectoriel normé doit de dimension infinie est que la boule unité ou toute autre boule (donc partie bornée) ne soit pas précompacte.

[invite35452583]

Merci pour ta réponse. Je voulais bien dire "l'ensemble des parties compactes est inclu dans les parties bornées". La réciproque n'est évidemment pas vraie puisque que, par exemple, une CNS pour qu'un espace vectoriel normé doit de dimension infinie est que la boule unité ou toute autre boule (donc partie bornée) ne soit pas précompacte.

Donc ton intuition était bonne.
J'y ai repensé et en plus fun, on peut aussi montrer ainsi qu'un précompact est borné :
soit P un précompact et son complété ( de sa simple fermeture dans un autre espace). est précompact (exercice ) et complet donc compact.
d : PxP->R⁺ est lipschitzienne et donc unfiformément continue donc se prolonge en . d(PxP) est contenu (et dense) dans l'image de cette dernière qui est un compact donc borné.

[invite97a526b6]

Donc ton intuition était bonne.
J'y ai repensé et en plus fun, on peut aussi montrer ainsi qu'un précompact est borné :
soit P un précompact et son complété ( de sa simple fermeture dans un autre espace). est précompact (exercice ) et complet donc compact.
d : PxP->R⁺ est lipschitzienne et donc unfiformément continue donc se prolonge en . d(PxP) est contenu (et dense) dans l'image de cette dernière qui est un compact donc borné.

Cette démonstration est élégante et claire et me plait bien.
Merci !

[invite97a526b6]

Donc ton intuition était bonne.
J'y ai repensé et en plus fun, on peut aussi montrer ainsi qu'un précompact est borné :
soit P un précompact et son complété ( de sa simple fermeture dans un autre espace). est précompact (exercice ) et complet donc compact.
d : PxP->R⁺ est lipschitzienne et donc unfiformément continue donc se prolonge en . d(PxP) est contenu (et dense) dans l'image de cette dernière qui est un compact donc borné.

J'ai besoin d'une petite précision:
Le complété de P étant par définition complet donc fermé et incluant évidemment P, n'est-il pas aussi le plus petit fermé contenant P c.à d. la fermeture (ou adhérence) de P ?
Tu dis "le complété de P est différent de sa simple fermeture dans un autre espace" ?
Il me semble que le complété de P est aussi adh(P) ?

[invite35452583]

J'ai besoin d'une petite précision:
Le complété de P étant par définition complet donc fermé et incluant évidemment P, n'est-il pas aussi le plus petit fermé contenant P c.à d. la fermeture (ou adhérence) de P ?
Tu dis "le complété de P est différent de sa simple fermeture dans un autre espace" ?
Il me semble que le complété de P est aussi adh(P) ?

Non, adh(P) peut être strictement plus petit : la fermeture de (]0;1[, l.l) , l.l est la valeur absolue, dans lui-même est non complet, dans (]-infini,1[,l.l) est non complet...
C'est cette précision là que je voulais mettre.