Démonstration

[invite02925217]

bjr,

j'ai une demo dans mon cours que je n'arrive pas à comprendre.
Il s'agit de la demo suivante:

l'image continue d'un segment est un segment.

J'aurais voulu savoir si il existait un sit eou sont explique les demo de math sup et tout particulierement celle ci.
Ou si quelq'un pouvait me l'expliquer simplement.

merci d'avance.
-----

[invite7ffe9b6a]

Prenons une fonction: [a,b]--> R continue.Notons I=f([a;b])
D'apres le TVI,I est un intervalle.

Notons et .

il faut montrer que et sont des valeurs prises par f.

Montrons que

Dans le cas contraire, tels que:

(*)

Or, on a

D'apres le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous suite convergente de limite l.

Et comme f est continue,
mais on a aussi d'apres (*),




donc contradiction.

donc


Montrons que est une valeur prise par f.

pour tout n, l'element ne majore pas I.
Il existe donc tels que .

(**)

appartenant au segment [a;b] il existe une sous suite convergente de limite l.

et en passant à la limite dans (**),

on a :

(***)

or, donc et donc, f(l) est superieur à la borne inferieur qui est .

Donc,



or on d'apres (***),



et finalement

est bien une valeur prise par f.

On montrerait de même pour