Démonstration

[inviteaceb3eac]

Bonjour à tous,
J'aimerais savoir comment démontrer ceci:
m=mo/rac carrée(1-v²/c²)
(avec mo la masse de l'objet au repos)
à un niveau pas trop compliqué SVP
Merci d'avance!
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[invitefa5fd80c]

Bonjour à tous,
J'aimerais savoir comment démontrer ceci:
m=mo/rac carrée(1-v²/c²)
(avec mo la masse de l'objet au repos)
à un niveau pas trop compliqué SVP
Merci d'avance!

Bonjour,

Certains te diront probablement que ça ne se démontre pas car la "masse relativiste", ça n'existe pas, point à la ligne

Bon mais, blague à part, si on réécrit l'équation comme :
E=moc²/rac carrée(1-v²/c²)
alors je peux te le démontrer de façon approximative.

En effet, si tu fais le développement en série de Taylor de 1/rac carrée(1-v²/c²), tu obtiens :

1/rac carrée(1-v²/c²) = 1 + (1/2)v²/c² + ...

Si on se limite au cas où v²/c² est relativement petit, on peut réécrire l'équation comme :

E = moc² + moc² ( (1/2)mov²/c² ) = moc² + (1/2)mov²

On sait que l'énergie cinétique est (1/2)mov². Donc pour prouver l'équation il suffit de montrer qu'il y a une énergie moc² associée à tout objet en vertu de sa masse et c'est ce que Einstein a fait.

[invitefa5fd80c]

Si on se limite au cas où v²/c² est relativement petit, on peut réécrire l'équation comme :

E = moc² + moc² ( (1/2)mov²/c² ) = moc² + (1/2)mov²

Oups ! petite erreur d'édition. Je corrige :
E = moc² + moc² ( (1/2)v²/c² ) = moc² + (1/2)mov²

[inviteaceb3eac]

Ah d'accord!
Merci beaucoup!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

je ne connais pas ton niveau. celle que j ai est base sur ces bases:
- on a defini le quadri vecteur position X=(x,y,z,ct) qui se transforme par (x',y',z',ct')=1/sqrt(1-v^2/c^2)(x,y,z,ct). C est donne par les postulatst de la relativite. La "norme" est constante s^2=x^2+..+z^2-c^2t^2=x'^2+..+z'^2-c^2t'^2
- le temps propre (celui de la aprticule dans son repere propre) est donne par T=s/c
- l impulsion est alors P=dX/dT. Par definition, c est un quadri vecteur, de norme constante. Ses 3 premieres composantes sont 1/sqrt(1-v^2/c^2)(px,py,pz) ou pi est l impulsion classique selon la composante i. En fait, les experiences tendent a montrer que l impulsion est mieux defini par son expression relativiste
p=1/sqrt(1-v^2/c^2)(px,py,pz)
et alors P=(p,mc/sqrt(1-v^2/c^2))

- la relation de la mecaniques est (admise) f=dp/dt

maintenat, un peu de calcul te montre que
mc/sqrt(1-v^2/c^2)=f.v/c=1/c*dE/dt
donc E=mc^2/sqrt(1-v^2/c^2)

en plus, par l invariance de la norme tu as la relation
E^2=m^2c^4 + p^2

En esperant ne pas dire de betise

++

[inviteaceb3eac]

Euh... j'entre en 3éme cette année ...
Qu'est-ce que veut dire sqrt?
(à part ça j'ai compris )

[b@z66]

Euh... j'entre en 3éme cette année ...
Qu'est-ce que veut dire sqrt?
(à part ça j'ai compris )

square root ratio ..??? En tout cas, c'est l'abbréviation anglosaxone de racine carrée.

[b@z66]

J'apporte aussi une pierre à ton questionnement en faisant remarquer que l'énergie d'un objet en fonction de sa vitesse se fait très bien en calculant une intégrale utilisant l'expression de la masse relativiste dans le calcul de la variation d'énergie.
Le seul problème que j'ai souvent rencontré c'est dans le choix de la constante associée à cette intégrale: mc2. Peu de bouquin l'explique apparement, c'est ce qu'a du vouloir exprimer Popol en montrant la contribution primordiale d'Einstein dans le problème.

[invited5efedfa]

Bonjour,

Certains te diront probablement que ça ne se démontre pas car la "masse relativiste", ça n'existe pas, point à la ligne

Bon mais, blague à part, si on réécrit l'équation comme :
E=moc²/rac carrée(1-v²/c²)
alors je peux te le démontrer de façon approximative.

En effet, si tu fais le développement en série de Taylor de 1/rac carrée(1-v²/c²), tu obtiens :

1/rac carrée(1-v²/c²) = 1 + (1/2)v²/c² + ...

Si on se limite au cas où v²/c² est relativement petit, on peut réécrire l'équation comme :

E = moc² + moc² ( (1/2)mov²/c² ) = moc² + (1/2)mov²

On sait que l'énergie cinétique est (1/2)mov². Donc pour prouver l'équation il suffit de montrer qu'il y a une énergie moc² associée à tout objet en vertu de sa masse et c'est ce que Einstein a fait.

je suis pas d'accord la : la masse augmente avec la vitesse. Fournir de le l'énergie à un objet permet d'augmenter sa vitesse ( si l'objet se déplace à une vitesse proche de c l'énergie n'augmente que très peu la vitesse). En revanche cet apport d'énergie augmente encore la masse de l'objet, et cela sans limite.

[b@z66]

je suis pas d'accord la : la masse augmente avec la vitesse. Fournir de le l'énergie à un objet permet d'augmenter sa vitesse ( si l'objet se déplace à une vitesse proche de c l'énergie n'augmente que très peu la vitesse). En revanche cet apport d'énergie augmente encore la masse de l'objet, et cela sans limite.

C'est une façon de voir... l'énergie fournie se transformerait donc pour toi en masse relativiste...et plus en vitesse (pour v grand).Toutefois l'expression de la masse relativiste est elle-même fonction de la vitesse. Le fait de dissocier alors l'énergie cinétique de l'énergie liée à la masse me paraît alors un peu abusif car on pourrait aussi raisonner sur le principe: l'apport d'énergie provoque une variation de la vitesse qui provoque à son tour une augmentation de la masse (ton raisonnement semble être: l'apport d'énergie fait augmenter la masse indépendemment de la vitesse pour des vitesses proches de c). Tout ça est lié, mon avis est que l'on ne peut pas tout dissocier.

[GrisBleu]

Euh... j'entre en 3éme cette année ...
Qu'est-ce que veut dire sqrt?
(à part ça j'ai compris )

Salut

desole, en 3eme ca doit paraitre obscure. sqrt c est la racine carre (habitude de LaTeX...). j essaie de re expliquer sans maths abstraites

- en relativite restreinte, les vraies variables physiques sont des objets en 4D invariant par changements de reperes gallilen: si tu passes d un repere sans acceleration a un autre, les variables physiques doivenmt etre invariant (postulat de la relativte restreinte). En aplliquantr cela a la mecanique + a l electromagnetisme, on obtient des formules de transformations entre objets 4D

- le plus simple de ces objets (appeles quadri vecteur) est la position donne par les trois coordonnees d espace (x,y,z) et celle de temps ct. avec le c, c est une dimension d e space : m/s *s =m. En mecanique, l objet le plus simple apres la position est appele l impulsion. En mecanique classize c est donne par m(vx,vy,vz) ou vi est la coordonnee de la vitessse selon l axe i.

- En relativite restreinte, on montre qu il en existe un equivalent donne par
m/sqrt(1-v^2/c^2)(vx,vy,vz,c). La derniere coordonnee n a pas un sens evident.

- Pour aller plus loin, il faut voir comment evolue l energie de la particule dans un champs de force. Pour ces calculs, tu peux me dire qu on a besoin de l expression de la force, mais en fait non, car avec celle ci est directement lie a la variation d impulsion qu on a calculer avant, donc pour mener nos calculs on considere une variation quelconque d impulsion. les calculs sont assez compliques, mais on s apercoit que l energie propre de la particule est alors proportionelle a cette mysterieuse coordonnee. la relation etant alors ce que tu souhaitais demontrer.


est ce plus clair ?

@+

[invité576543]

je suis pas d'accord la : la masse augmente avec la vitesse. Fournir de le l'énergie à un objet permet d'augmenter sa vitesse ( si l'objet se déplace à une vitesse proche de c l'énergie n'augmente que très peu la vitesse). En revanche cet apport d'énergie augmente encore la masse de l'objet, et cela sans limite.

Bonjour,

Ii y a des dizaine de discussions sur ce forum sur ce sujet. La conclusion est toujours la même: définir la masse comme relative (i.e., qui change avec la vitesse) est une approche qui a été utilisée dans le passé, mais on considère maintenant bien plus efficace du point de vue conceptuel de définir la masse comme absolue. C'est en particulier bien plus clair pour aborder la relativité générale par exemple.

L'approche conceptuelle qui est à favoriser est :

- masse absolue

- énergie relative (mc² est alors l'énergie au repos d'un objet de masse non nulle, i.e., son énergie dans un repère où l'objet est immobile) (*)

- inertie relative: l'inertie est égale à , et est donc relative (et égale à E/c², l'énergie étant relative il ne s'agit pas de la masse)

La formule iconique doit alors se lire E = inertie x c², ou E₀ = mc², E₀ étant l'énergie au repos.

Cordialement,

(*) Que l'énergie soit relative est valable même en mécanique classique!

[invited5efedfa]

D'accord, excusez-moi j'ai du confondre la masse et l'inertie mon ignorance vient du fait que je ne sais pas exactement ce que c'est l'inertie
Merci d'avoir rectifier mon erreur.
Cordialement.
Raptor.

[invité576543]

D'accord, excusez-moi j'ai du confondre la masse et l'inertie mon ignorance vient du fait que je ne sais pas exactement ce que c'est l'inertie
Merci d'avoir rectifier mon erreur.
Cordialement.
Raptor.

L'inertie est le coefficient de proportionalité entre la force que l'on exerce sur un objet et l'accélération qui en résulte. Dans le cadre de la relativité restreinte, la force et l'inertie sont relatives (elle dépendent du référentiel utilisé), l'accélération est identique dans tous les référentiels galiléens.

En mécanique classique, l'inertie se confond avec la masse, d'où l'approche "ancienne".

Cordialement,

[inviteaceb3eac]

Oui,merci wlad_von_tokyo :c'est beaucoup plus clair