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Démonstration de i^2=-1



  1. #1
    chouket
    C: les complexes et R les réels
    *on considère le plan P
    *on va essayer de mettre P en bijection avec un ensemble C qui prolongerait R à l'aide duquel un point (ou un vecteur) ne serait représenté que par un seul élément de C
    *pour le plan P on prend:
    -llull=llvll (ps j'arrive pas à faire des vecteurs je suis dsl)
    -(u,v) ont pour mesure algébrique +pi/2
    Dc on a au+bv qui décrit Vp en entier qd (a,b) décrivent R² en entier (u,v) sont les vecteurs unitaires et Vp l'enssemble des vecteurs du plan
    *on fait la même chose pour le nouveau plan P' (celui avec C) où l'on prend a=1 et b=i où 1appartient à R et i appartient à C (i ne doit pas appartennir à R sinon on retourne dans P)

    ..... propriétés que vous connaissaient d'addition dans C{z+z'=(a+c)+i(b+d)}

    *pour la multiplication
    on ne peut pas copier ce qu'il se passe dans Vp car la multiplication interne des vecteurs n'existe pas par contre dans Vp on a définit la notion de norme llUll=rac(a²+b²) qui est dans R+
    on transpose cette notion dans C en lui donnant le nom de module
    pour sa notation on remarque que si z appartient à R on a 1*z+0*i qui correspond à vecteur U =z*(vect)u+0*(vect)v dc llUll=rac (z)² cad lzl
    Dans R lzz'l=lzl*lz'l
    dc puisqu'on est dans R+ on peut dire que lzz'l²=lzl²*lz'l² (comparer 2 nb pos revient à comparer leur carré)
    On va vouloir que cette propriété soit concervée pr les modules dans C
    Soit z=a+ib et z'=c+id

    lzl²*lz'l²=(a²+b²)(c²+d²)=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²

    zz'=(a+ib)(c+id)=ac+iad+ibc+i² bd
    On veut que i² appartienne a C dc que i²=alpha+i*béta où(alpha,béta)appartiennent a R²

    zz'=ac+i(ad+bc)+(alpha+i*béta) *bd
    ={ac+alpha*bd}+i[ad+bc+béta*bd]
    où {appartient a R} et [appartient a C]
    (zz’)²=(ac+alpha*bd)²+(ad+bc+b éta*bd)²
    =a²c²+2abcd*alpha+alpha²*b²d²+b²c²+a²d²+béta²*b²d²+2abcd+2béta*b²cd+2béta*abd²

    On vise l’égalité entre lzz’l² et lzl²*lz’l²
    On l’obtiendra en prenant :
    Alpha²+béta²=1
    Alpha +1=0
    2béta=0

    cad si :
    (-1)²+0²=1 :vraie
    alpha = -1
    béta=0

    BILAN : i²=(-1) +0i

    Je ne sais pas si c’est la vraie démonstration de i²= -1 mais en tout cas ça y ressemble

    -----
    Dernière modification par chouket ; 18/12/2004 à 13h38. Motif: déplacement

  2. #2
    chouket

    Re : Que faire l'année prochaine ?

    désolé je me suis plantée d'endrois milles excuses

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