Hyperplans !

[invitea87a1dd7]

Bonjour à tous, voilà je bloque sur un exo, qui devrait pourtant être simple, mais j'arrive pas à trouver la bonne méthode de résolution

On veut montrer que l'ensemble des matrices réelles non inversibles ne contient aucun hyperplan. Pour le faire on raisonne par l'absurde, et on considère un hyperplan H de l'ensemble des matrices réelles carrés nxn dont tout élément est de déterminant nulle.
Voici la première question sur laquelle je bloque :
Si A appartient à l'ensemble des matrices carrées nxn réelles, prouver qu'il existe un unique réel tel que la matrice (A - (A)*In) appartienne à H (In étant l'identité)

J'ai pourtant essayé pas mal de choses : revenir à la définition du déterminant, essayer de trouver un polynôme en (A) mais pour montrer qu'il s'annule qu'une fois, c'est pas simple... Si quelqu'un pouvait me mettre sur une piste...
Merci bien !

ps: le (A) dépend de toute évidence de A
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[invitedf667161]

Bonjour.

J'avoue que ton histoire est assez bizarre. On ne connait rien du tout sur H, donc ça me parait difficile de montrer que A-lambda.I est dedans.
L'unicité du lambda est cependant claire.

Est-ce-que tu pourrais donnerla suite des questions et tous les détails que tu as éventuellement omis stp ?

[invitea87a1dd7]

Oui l'unicité est assez simple effectivement ! Mais je pense qu'elle se démontre en même temps que l'existence... ce qui parait assez difficile
Pour H, en fait tout élément de H a pour déterminant 0 (voir énoncé)
Voilà...
@++

[invitedf667161]

Oui donc pas plus d'indices que ça...

Oui tout élément de H a pour déterminant zero ; mais je crois qu'il faut bien utiliser le fait c'est un hyperplan... ca va venir...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf667161]

Ca y est c'est venu

Comme tout hyperplan, est la noyau d'une forme linéaire non nulle .

On a de plus car est inversible.

Prend dans , vois-tu maintenant comment construire le fameux que l'on cherche ?

[invitea87a1dd7]

lol ! Ah oui = phi (A) !
Tout simplement, j'étais focalisé sur les propriétés du déterminant ! Bah en fait, c'est juste la définition de l'hyperplan !!
Bon en tout cas, merci GuYem !

[invitea87a1dd7]

Juste un truc, comment tu passes de phi( I ) non nul car I inversible ? phi est à priori une forme linéaire quelconque non ?

[invitebf65f07b]

si phi(I)=0 alors I est dans le noyau de phi et donc dans l'hyper-plan H, ce qui est faux puisque I est inversible (donc de déterminant non nul).

[invitebf65f07b]

je pense d'ailleurs que c'est plutôt lambda(A)=phi(A)/phi(I), non?

[invitea87a1dd7]

Oui exact, de toute façon, le déterminant, c'est une forme n-linéaire (dans ce cas), donc c'est pas une forme linéaire ! (au début j'avais fait le résonnement avec la forme linéaire = le déterminant, ce qui est totalement faux)
Bon, quoiqu'il en soit cela suffit pour l'existencede lambda(A) puisqu'on a déja l'existence de phi !
Merci à tous !

[invitea87a1dd7]

Bon rebloquage, une question plus loin demande de prouver l'existence d'une matrice colonne non nulle C telle que AC = C et ce qu'on peut dire de si A est nilpotente...
Bon je vois bien qu'il faut faire (A - In) C = 0 (colonne nulle) mais là je suis bloqué ? Je pensais avec des matrices élémentaires, mais pas moyen d'avoir une colonne nulle...Si quelqu'un avait une idée...
Merci

[invitedf667161]

Mais dis moi elle est pas dure cette question!

Tu viens de voir que est de déterminant nul, ou non inversible si tu préfères. Qu'est-ce-que tu penses de son noyau ?

[invitea87a1dd7]

Que C appartien au noyau de ? Mais ne faut-il pas montrer que le noyau ne contient pas que 0 ?

[invitea87a1dd7]

Ah oui, c'est parce que comme les vecteurs colonnes de la matrice sont liés (car matrice non inversible), on a pas d'injectivité, donc le noyau n'est pas réduit à 0, donc on choisit C (matrice colonne) non nulle dans ce noyau, c'est ça ?

[invitedf667161]

Exactement!

Pour une application linéaire d'un ev de dimension n vers un autre ev de dimension n (l'égalité des dimensions est importante) le fait que le déterminant est nul est équivalent au fait que le noyau ne soit pas réduit à {0}.

Ici tu as un déterminant nul, donc un noyau plus gros que {0}, tu prends un C dedans et c'est bon.

[invitea87a1dd7]

Oki merci encore

[invitea87a1dd7]

Bon encore moi, c'était juste pour l'absurdité à trouver.
On conseille de considérer la matrice
En appelant A la matrice et B l'autre matrice dans la somme. Je trouve que A et B sont non inversible, que leur somme est inversibles. Je voulais mettre AC = 0 et BC = 0 et conclure mais le problème c'est que le C n'est pas forcément le même pour la matrice A et B...
Une idée ?

Merci.

ps: = matrice élémentaire (i et j en puissance)