topologie sur R, les fermés peuvent ils être vus comme des ouverts ??

[invite93985d50]

Bonjour à tous,

je suis en train de me remettre aux maths, en essayant d'être rigoureux...

On dit que la topologie usuelle sur R est l'ensemble des intervalles ouverts.
On a stabilité par union quelconque, et stabilité par intersection dénombrable.

donc la c'est sympa, les ouverts (éléments de la topologie) sont les intervalles ouverts...

Mais si je prends l'ensemble de tous les intervalles fermés ?

Pourquoi ce ne serait pas une topologie sur R.
Je suppose qu'il y a un exemple de réunion infinie d'intervalles fermés qui n'en serait pas un, mais je n'en vois pas ??
L'intersection de deux fermés quant à elle restera un fermé.

Je voudrais une réponse qui ne tienne compte que de la définiton de ce qu'est une topologie...

Merci.
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[invite986312212]

non, la topologie usuelle est appelée comme ça parce que c'est la topologie associée à la métrique usuelle (on n'a rien gagné) c'est-à-dire la métrique de la valeur absolue. En tant que topologie elle est engendrée par les intervalles ouverts (qui constituent donc une base d'ouverts).
Dans les axiomes d'une topologie, tu as le fait qu'une réunion quelconque d'ouverts est ouverte. Avec les intervalles fermés ça ne marche pas. Prends les intervalles [1/n,1]. Leur réunion est ]0,1] (ouvert à gauche).

[invite986312212]

On a stabilité par union quelconque, et stabilité par intersection dénombrable.

intersection finie, pas dénombrable!

[invite93985d50]

Je crois que c'est équivalent.
La définition minimale ca serait intersection de deux éléments seulements, qui entraine stablilité par intersection finie, et par intersection dénombrable.

Merci pour la réponse avec [1/n ; 1]. Je sais pas pourquoi je bloque parfois sur des choses comme ca, c'est décourageant... Bon au moins je me pose déjà la question

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93985d50]

Ah non,
en fait je me souviens, parce que apres je me suis demandé :
après si je considère la topologie définie par toutes les sortes d'intervalles fermés ouverts et semi ouverts. La ou est le contre exemple ??
Ou est-ce une topologie sur R ???

[invite986312212]

Je crois que c'est équivalent.
La définition minimale ca serait intersection de deux éléments seulements, qui entraine stablilité par intersection finie, et par intersection dénombrable.

ben non, c'est pas équivalent. Prends les complémentaires des [1/n,1]. Ce sont des complémentaires de fermés donc des ouverts, et ils sont en quantité dénombrable. Leur intersection est le complémentaire de la réunion des [1/n,1], c'est donc le complémentaire de ]0,1] qui n'est pas fermé, et donc ce n'est pas un ouvert.

[invite986312212]

après si je considère la topologie définie par toutes les sortes d'intervalles fermés ouverts et semi ouverts. La ou est le contre exemple ??
Ou est-ce une topologie sur R ???

si tu considère un ensemble de parties de R, il engendre toujours une topologie: la plus petite topologie qui contient ses parties. Maintenant, si tu prends trop de monde, tu risques d'obtenir la topologie triviale i.e. P(R). Dans le cas que tu proposes, je ne suis pas sûr, mais je parierais qu'il va encore rester des parties de R non ouvertes.