Une question sur la théorie des ensembles

[invite413cbc75]

Bonjour à tous,

Je viens d'entrer en MPSI et j'ai un DM à faire en maths ... Assez difficile. J'aurais simplement besoin de votre aide pour me dire si le résonnement suivant est correct :

Soit f une application injective de E dans F, avec E et F non vides, F inclus dans E.
Alors f(E) inclu dans F donc dans E.
Donc comme f est injective, on a f(E)=E=F.

Ca me paraît logique puisque f étant injective, chaque élément de E a sa propre image dans F, donc F a le même nombre d'éléments que E (tout en étant inclus dans E). Mais bon, je suis pas sûr que ca marche mon résonnement. Si c'est la cas, tout l'exercice de mon DM devient ultra-simple donc ça m'étonne ... Il y a peut-être une erreur mais je vois pas ou ...

Merci de votre aide
-----

[invitebfd92313]

"Donc comme f est injective, on a f(E)=E=F"
je ne sais pas quel argument tu utilises mais à priori c'est faux (tu confonds petu etre avec la surjectivité)

"Ca me paraît logique puisque f étant injective, chaque élément de E a sa propre image dans F, donc F a le même nombre d'éléments que E (tout en étant inclus dans E)"
d'une part ca ressemble plus a de la littérature qu'a des maths, d'autre part il faut faire attention avec les notions de nombre d'éléments d'un ensemble, si tu travailles avec des ensembles infinis il peut se passer des choses qui vont contre l'intuition.

[invite4ef352d8]

Salut !

le raisonnement que tu fais serait valable pour des ensemble finit, mais dans le cas d'ensemble infinit ca n'a aucune raison d'etre : ce que tu es entrain de dire c'est qu'une application f:E->E injective est automatiquement surjective, or tu sais bien que ce n'est pas le cas, par exemple f:Z->Z qui a x->2x est injective, mais pas du tous surjective !

[Médiat]

chaque élément de E a sa propre image dans F, donc F a le même nombre d'éléments que E (tout en étant inclus dans E).

Pour complèter ce que dis Ksilver, tu as raison (presque) de dire que E et F ont le même nombre d'éléments (sauf qu'il vaut mieux dire qu'ils ont même cardinal), mais avoir le même cardinal et être inclus l'un dans l'autre ne suffit pas pour dire qu'ils sont égaux dans le cas infini (cf. l'exemple de Ksilver).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3044d435]

Autre exemple: Soit la fonction f(x) = 1, Df = R
Alors l'image de R par la fonction f est {1}. On a bien {1} inclus dans R mais pas {1}=R

[Médiat]

Autre exemple: Soit la fonction f(x) = 1, Df = R
Alors l'image de R par la fonction f est {1}. On a bien {1} inclus dans R mais pas {1}=R

Malheureusement ta fonction n'est pas injective.

[invite413cbc75]

Ok, je comprend le souci, mon raisonnement pose problème dans le cas d'ensembles infinis ... Domage

Merci pour vos réponses !

[invite413cbc75]

Par contre, si maintenant j'ai f : E->E une application injective, alors je peux dire que f(E) = E ?

[Médiat]

Par contre, si maintenant j'ai f : E->E une application injective, alors je peux dire que f(E) = E ?

Toujours pas, cf. l'exemple de Ksilver

[invite413cbc75]

Toujours pas, cf. l'exemple de Ksilver

Ah oui désolé ... Ca y est j'ai compris cette fois ^^
Merci