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Théorie des Ensembles



  1. #1
    ADmax

    Théorie des Ensembles


    ------

    Bonjour,



    J'ai une petite question de théorie des ensembles qui me pose problème:

    On se donne deux ensembles A et X avec A inclus dans X et A infini.

    On suppose que X a une cardinalité strictement supérieure à A.

    Alors X - A a même cardinalité que X ( c'est-à-dire qu'il existe une bijection entre X - A et X).



    Pouvez-vous m'aider en me le démontrant? Merci d'avance!

    -----

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  3. #2
    ericcc

    Re : Théorie des Ensembles

    Je vais peut etre dire une betise, mais ce ne serait pas l'hypothèse du continu ton énoncé ?

  4. #3
    ADmax

    Re : Théorie des Ensembles

    non .. l'hypothese du continu dit qu'il n'existe pas d'ensemble infini dont le cardinal serait strictement compris entre le cardinal de N et celui de R.. c'est particulier

  5. #4
    martini_bird

    Re : Théorie des Ensembles

    Salut et bienvenue,

    on peut certainement faire une démo par l'absurde: si X-A n'était pas en bijection avec X, (X-A)uA non plus et X n'est pas en bijection avec lui-même: contradiction.

    Je te laisse combler les trous.

    Cordialement.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ADmax

    Re : Théorie des Ensembles

    je te mets au défi de mener a bien ta démonstration par l'absurde...ce n'est pas clair du tout que "si X-A n'est pas en bijection avec X, (X-A)uA non plus"

    en plus je ne vois pas du tout où est ce que tu utiliserais les hypothèses "A infini" et "X a une cardinalité strictement supérieure à A"..

    a poursuivre!

  8. #6
    martini_bird

    Re : Théorie des Ensembles

    Ben c'est quand même pas à moi de faire le boulot!

    A et X-A sont de cardinalité strictement inférieur à celle de X. Or la réunion de deux ensembles infinis a la cardinalité du plus grand des deux (enfin il me semble)...

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  10. #7
    ADmax

    Re : Théorie des Ensembles

    seul A est de cardinalite strictement inferieure a celle de X (pas X-A)

    Mais c'est vrai qu'avec la propiété "la réunion de deux ensembles infinis (disjoints, ou non je sais pas) a la cardinalité du plus grand des deux" on montre directement le resultat! Bien vu! seulement est ce que quelqu'un sait comment se prouve cette propriété la? il y a pas du zorn dans les parages?!

  11. #8
    martini_bird

    Re : Théorie des Ensembles

    Citation Envoyé par ADmax
    seul A est de cardinalite strictement inferieure a celle de X (pas X-A)
    Ben c'est précisément l'hypothèse qui est faite pour aboutir à une contradiction...

    Citation Envoyé par moi, message 4
    si X-A n'était pas en bijection avec X, ...

  12. #9
    C.B.

    Re : Théorie des Ensembles

    Citation Envoyé par ADmax
    Mais c'est vrai qu'avec la propiété "la réunion de deux ensembles infinis (disjoints, ou non je sais pas) a la cardinalité du plus grand des deux"
    La propriété marche que les ensembles soient disjoints ou nom.

    C'est juste la formule de card A+Card B dans le cas ou A ou B est infini.

  13. #10
    laabab

    Re : Théorie des Ensembles

    Citation Envoyé par ADmax
    Bonjour,



    J'ai une petite question de théorie des ensembles qui me pose problème:

    On se donne deux ensembles A et X avec A inclus dans X et A infini.

    On suppose que X a une cardinalité strictement supérieure à A.

    Alors X - A a même cardinalité que X ( c'est-à-dire qu'il existe une bijection entre X - A et X).



    Pouvez-vous m'aider en me le démontrant? Merci d'avance!
    comment ça ?
    A est infini et tu suppose que la cardinalité de X > à celle de A !! tu dois resaisir l'exercice de nouveau
    amicalement
    Dernière modification par laabab ; 17/12/2005 à 14h01.

  14. #11
    matthias

    Re : Théorie des Ensembles

    Citation Envoyé par laabab
    A est infini et tu suppose que la cardinalité de X > à celle de A !! tu dois resaisir l'exercice de nouveau
    Non, non, il n'y a pas de problème.
    On peut comparer des cardinaux d'ensembles infinis. On ne le fait pas en comptant les éléments, mais en s'appuyant sur les notions d'injection, de bijection, etc.

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