Theorie des ensembles et nombres

[invitebeb55539]

Salut.

Une petite question bête. J'ai vu qu'on pouvait construire les nombres entiers naturels de cette manière en théorie des ensembles :

{ 0 } = 1
{ { 0 }, 0 } = 2
{ { 0, { 0 } }, { 0 }, 0 } = 3
...

Mais comment peut-on construire les autres nombres tels les décimaux ou les entiers relatifs ?

Merci de l'attention.
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[invite03f2c9c5]

Bonjour, les autres ensembles de nombres se construisent à partir des ensembles précédemment construits.

Par exemple, pour construire l'ensemble des entiers relatifs, on suppose déjà construits les entiers naturels. Il s'agit alors de définir pour chaque entier strictement positif son opposé, et d'étendre les règles de calcul habituelles sur les nombres ainsi créés…

Une manière classique de procéder consiste à considérer les couples d'entiers naturels. Par exemple, on identifie 0 aux couples (0;0), (1;1), (2;2)… plus généralement à tous les couples de la forme (n;n), avec n entier naturel. On identifie 1 aux couples (1;0), (2;1)… plus généralement les (n+1;n). De même, 2 007 sera identifié à l'ensemble des couples du type (n+2 007;n). L'intérêt de faire cela est qu'on peut considérer d'autres types de couples d'entiers naturels, par exemple (0;1), (1;2)… plus généralement les (n;n+1) ; et bien on va appeler -1 l'ensemble de ces couples. De même, -17 sera identifié à l'ensemble des couples de la forme (n;n+17).

En résumé, on a envie de dire que deux couples d'entiers naturels (x;y) et (x';y') correspondent au même entier relatif si la différence x-y est égale à la différence x'-y', la valeur de cette différence étant d'ailleurs l'entier relatif en question. Sauf que c'est tricher si l'on ne connaît pas encore les entiers négatifs dans le cas où y>x ! On s'en sort en disant que deux couples d'entiers naturels (x;y) et (x';y') sont équivalents si x+y'=x'+y : cette manière de faire ne sort pas du monde des entiers naturels.

Techniquement, on dit qu'on définit une relation d'équivalence sur l'ensemble des couples d'entiers naturels en posant si l'on a . On appelle alors , ensemble des entiers relatifs, l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation ; on l'appelle l'ensemble quotient . Ensuite, on identifie un entier naturel à la classe d'équivalence de , ce qui permet voir comme inclus dans . Il ne reste plus qu'à étendre les opérations usuelles (addition, multiplication) sur notre nouvel ensemble de nombres (bon, cela demande un peu de travail), et le tour est joué.

Toute cette construction abstraite te paraîtra peut-être un peu compliquée (je ne connais pas ton niveau d'études mais on est en tout cas au-delà du programme du lycée !) ; il faut simplement en retenir qu'une fois connus les entiers naturels, on peut explicitement construire les ensembles de nombres les uns après les autres. Tout cela est résumé par l'aphorisme de Kronecker : « Dieu créa les nombres entiers, le reste est l'œuvre de l'homme ».

Bien entendu, en pratique, aucun mathématicien ne pense à cette construction quand il manipule les nombres ; une fois qu'elle est effectuée, on l'oublie en étant rassuré car on sait qu'on manipule des objets bien définis…

[invitebeb55539]

Merci beaucoup c'est nickel

J'ai dépassé le bac mais je prefère poster ici car je me considère pas très fort

[Médiat]

Tout cela est résumé par l'aphorisme de Kronecker : « Dieu créa les nombres entiers, le reste est l'œuvre de l'homme ».

Jusqu'au jour où Peano a dit, "Non, non, les entiers c'est moi !"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Jusqu'au jour où Peano a dit, "Non, non, les entiers c'est moi !"

Et Schmidt...