Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 5 sur 5

Theorie des ensembles et nombres



  1. #1
    DaoLoNg WoNg

    Theorie des ensembles et nombres


    ------

    Salut.

    Une petite question bête. J'ai vu qu'on pouvait construire les nombres entiers naturels de cette manière en théorie des ensembles :

    { 0 } = 1
    { { 0 }, 0 } = 2
    { { 0, { 0 } }, { 0 }, 0 } = 3
    ...

    Mais comment peut-on construire les autres nombres tels les décimaux ou les entiers relatifs ?

    Merci de l'attention.

    -----
    Dernière modification par DaoLoNg WoNg ; 20/11/2007 à 02h56.

  2. Publicité
  3. #2
    DSCH

    Re : Theorie des ensembles et nombres

    Bonjour, les autres ensembles de nombres se construisent à partir des ensembles précédemment construits.

    Par exemple, pour construire l'ensemble des entiers relatifs, on suppose déjà construits les entiers naturels. Il s'agit alors de définir pour chaque entier strictement positif son opposé, et d'étendre les règles de calcul habituelles sur les nombres ainsi créés…

    Une manière classique de procéder consiste à considérer les couples d'entiers naturels. Par exemple, on identifie 0 aux couples (0;0), (1;1), (2;2)… plus généralement à tous les couples de la forme (n;n), avec n entier naturel. On identifie 1 aux couples (1;0), (2;1)… plus généralement les (n+1;n). De même, 2 007 sera identifié à l'ensemble des couples du type (n+2 007;n). L'intérêt de faire cela est qu'on peut considérer d'autres types de couples d'entiers naturels, par exemple (0;1), (1;2)… plus généralement les (n;n+1) ; et bien on va appeler -1 l'ensemble de ces couples. De même, -17 sera identifié à l'ensemble des couples de la forme (n;n+17).

    En résumé, on a envie de dire que deux couples d'entiers naturels (x;y) et (x';y') correspondent au même entier relatif si la différence x-y est égale à la différence x'-y', la valeur de cette différence étant d'ailleurs l'entier relatif en question. Sauf que c'est tricher si l'on ne connaît pas encore les entiers négatifs dans le cas où y>x ! On s'en sort en disant que deux couples d'entiers naturels (x;y) et (x';y') sont équivalents si x+y'=x'+y : cette manière de faire ne sort pas du monde des entiers naturels.

    Techniquement, on dit qu'on définit une relation d'équivalence sur l'ensemble des couples d'entiers naturels en posant si l'on a . On appelle alors , ensemble des entiers relatifs, l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation ; on l'appelle l'ensemble quotient . Ensuite, on identifie un entier naturel à la classe d'équivalence de , ce qui permet voir comme inclus dans . Il ne reste plus qu'à étendre les opérations usuelles (addition, multiplication) sur notre nouvel ensemble de nombres (bon, cela demande un peu de travail), et le tour est joué.

    Toute cette construction abstraite te paraîtra peut-être un peu compliquée (je ne connais pas ton niveau d'études mais on est en tout cas au-delà du programme du lycée !) ; il faut simplement en retenir qu'une fois connus les entiers naturels, on peut explicitement construire les ensembles de nombres les uns après les autres. Tout cela est résumé par l'aphorisme de Kronecker : « Dieu créa les nombres entiers, le reste est l'œuvre de l'homme ».

    Bien entendu, en pratique, aucun mathématicien ne pense à cette construction quand il manipule les nombres ; une fois qu'elle est effectuée, on l'oublie en étant rassuré car on sait qu'on manipule des objets bien définis…
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  4. #3
    DaoLoNg WoNg

    Re : Theorie des ensembles et nombres

    Merci beaucoup c'est nickel

    J'ai dépassé le bac mais je prefère poster ici car je me considère pas très fort

  5. #4
    Médiat

    Re : Theorie des ensembles et nombres

    Citation Envoyé par DSCH Voir le message
    Tout cela est résumé par l'aphorisme de Kronecker : « Dieu créa les nombres entiers, le reste est l'œuvre de l'homme ».
    Jusqu'au jour où Peano a dit, "Non, non, les entiers c'est moi !"
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Ledescat

    Re : Theorie des ensembles et nombres

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Jusqu'au jour où Peano a dit, "Non, non, les entiers c'est moi !"
    Et Schmidt...

    Cogito ergo sum.

Discussions similaires

  1. Gödel et la théorie des ensembles
    Par Gre dans le forum Epistémologie et Logique (archives)
    Réponses: 3
    Dernier message: 12/07/2007, 19h57
  2. Théorie des Ensembles
    Par ADmax dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 10
    Dernier message: 17/12/2005, 14h07
  3. Théorie des ensembles
    Par exdark dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 04/03/2004, 00h33
  4. Théorie des ensembles 2 : le retour !!!!!
    Par exdark dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 03/03/2004, 17h07
  5. logique et théorie des ensembles
    Par Bastien dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 02/11/2003, 11h22