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Système de 4 équations , 3 inconnues



  1. #1
    psebcopathe
    Bonjour à tous , j'aiun problème à résoudre qui me fait tourner en bourique.
    Voila les équations:
    a,b,b,l0,l1,l2,l3 sont des valeurs connues. x,y,z les inconnues.

    (x+a)²+(y+b)²+(z+c)²=l0²
    (x-a)²+(y-b)²+(z+c)²=l1²
    (x-a)²+(y+b)²+(z-c)²=l2²
    (x+a)²+(y-b)²+(z-c)²=l3²

    je cherche à trouver x,y,z et je bloque , si quelqu'un pouvait m'aider !?
    ps si a=b=c , on obtient :
    x= (l0²-l1²-l2²+l3²)/8a
    y= (l0²-l1²+l2²-l3²)/8a
    z= (l0²+l1²-l2²-l3²)/8a

    merci

    -----

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  3. #2
    olle
    (x+a)²+(y+b)²+(z+c)²=l0² (1)
    (x-a)²+(y-b)²+(z+c)²=l1² (2)
    (x-a)²+(y+b)²+(z-c)²=l2² (3)
    (x+a)²+(y-b)²+(z-c)²=l3² (4)

    en fait il y a 4 équations pour 3 inconnues.
    donc soit ya une équation qui va servir à rien, soit yaura un problème

    (1)-(2) -> (x+a)²-(x-a)²+(y+b)²-(y-b)² = l0²-l1²
    4ax+4by = l0²-l1² (5)

    (3)-(4) -> -4ax+4by = l2²-l3² (6)

    (5)-(6) -> 8ax = l0²-l1²-l2²+l3² -> x = (l0²-l1²-l2²+l3²)/8a (7)
    (5)+(6) -> 8by = l0²-l1²+l2²-l3² -> y = (l0²-l1²+l2²-l3²)/8b (8)

    de même:

    (1)-(4) -> 4by+4cz = l0²-l3² (9)
    (2)-(3) -> -4by+4cz = l1²-l2² (10)

    (9)-(10) -> y = (l0²-l1²+l2²-l3²)/8b (8) <- ok c bon on a la même équation qu'avant
    (9)+(10) -> z = (l0²+l1²-l2²-l3²)/8c (9)

    donc au final:

    x = (l0²-l1²-l2²+l3²)/8a
    y = (l0²-l1²+l2²-l3²)/8b
    z = (l0²+l1²-l2²-l3²)/8c

    pfiou

  4. #3
    Sharp
    Salut,
    quand il y a trop d'équations, en général celle en trop sert à confirmer ou à infirmer lezs hypothèses faites dans les précédentes. Que signifie l'espèce de trait verticel que vous mettez avant les nombres? C'est juste la lettre l, avec laquelle on a nommé les nombres?
    "Mets du feu dans l'âtre, maman, Grendel vient nous voir ce soir."
    D. Simmons, Hypérion.

  5. #4
    psebcopathe
    et bien je te remercie beaucoup, c justement le fait d'avoir 4 equations et seulement 3 inconnues qui me posait pb.
    Pour comprendre à quoi me sert cette équation :
    http://www-rocq.inria.fr/i3d/i3d/people/tarrin/

    Je dois étudier ce système , et donc déterminer la position du doigt en fonction de la longeur des cables.

  6. #5
    psebcopathe
    je vous remercie
    oui l0 ca veut dire longueur du cable 0 en fait .
    il ya 4 cables de 0à 3 .

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    juan
    (x+a)²+(y+b)²+(z+c)²=l0² (1)
    (x-a)²+(y-b)²+(z+c)²=l1² (2)
    (x-a)²+(y+b)²+(z-c)²=l2² (3)
    (x+a)²+(y-b)²+(z-c)²=l3² (4)

    le/les triplets (x,y,z) solutions du système correspondent en fait aux points d'intersection des 4 sphères de centres respectifs:
    (-a,-b,-c),(a,b,-c),(a,-b,c),(-a,b,c)
    et de rayons respectifs :
    l0,l1,l2,l3

    avant de se lancer dans la résolution,il peut être judicieux de calculer les distances entre tous les centres de sphères (6 dstances) et de comparer à chaque fois cette distance avec la somme des rayons des 2 sphères concernées.(6 comparaisons)

    ...non?
    Je pense pas que ce soit long et ça peut éviter des calculs fastidieux.

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  10. #7
    olle


    je trouve pas que ces calculs sont fastidieux
    découplage du problème à 4 équations en 2 problèmes à 2 équations...

  11. #8
    juan
    je trouve pas que ces calculs sont fastidieux
    Pour moi ,si! je fais une allergie carabinée à tout ce qui dépasse 3 lignes de calcul!
    La cause : je n'ai jamais pris goût au calcul (c'est un peu idiot pour un "matheux") ,je n'arrive pas à rester concentré sur des choses "mécaniques" et je fais des boulettes très rapidement et en série
    Les conséquences : je deviens encore plus mauvais en calcul numérique.J'aurais pu sortir un livre "Mes plus belles perles en intégrales triples"
    Je dois être un peu flemmard.L'avantage de l'algèbre(groupes,anneaux...), du moins jusqu'à la licence, c'est que quasiment tous les exos peuvent être faits par "expérience de pensée"(grands mots pour pas grand chose),sans papier/crayon.

    PS :bonsoir à tous les taupins qui font tourner à plein régime l'industrie du crayon et du papier
    @+

  12. #9
    curieux
    Bonjour,

    je me permets d'intervenir, d'une part pour admirer la simplicité de la résolution d'olle, d'autre part pour apporter une précision.

    Ce système, en général, n'a pas de solution: en effet il s'agit de déterminer l'intersection de 4 sphères. Or trois sphères ont en général 2 points communs (si les rayons ne sont pas trop tordus), ce qui est équivalent à dire qu'un tétraèdre est entièrement déterminé à une symétrie près par la longueur de ses quatre arêtes. Si la quatrième sphère n'a pas LE BON rayon, il n'y a pas de point commun aux quatre sphères.

    Dans le problème précis posé, si j'ai bien compris l'exposé pratique, le problème a une solution car les cordes sont élastiques et les rayons "s'arrangent" pour rendre le problème réalisable.

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