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Disussion d'un système de trois équations à 3 inconnues



  1. #1
    alias_sg1

    Disussion d'un système de trois équations à 3 inconnues


    ------

    Bonjour a tous,

    J'ai un exercice d'examen d'entrée d'ingénieur civil a faire en devoir et il consuste en une discussion du système suivant :

    ax+y+z=a
    x+ay+az=1
    x-y+2z=a

    J'ai trouvé que le déterminant de la matrice vaut 0 quand a vaut -1 ou 1. J'ai donc commencé par le cas ou a est different de -1 et 1 et la pas de problème je trouve : S {(1;(-a+1)/3;(a-1)/3)}

    Mais lorsque j'entame le deuxième cas ou a=-1, je trouve que le rang de M est de 2 (à confirmer svp), je supprime donc une équation et je trouve que z=-2/3, mais après comme il me reste :

    -x+y+z=-1
    x-y-z=1
    x-y+2z=-1

    Impossible de trouver x et y car ils s'annulent...

    -----

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  3. #2
    homotopie

    Re : Disussion d'un système de trois équations à 3 inconnues

    Bonjour,

    comme le rang est égal à 2 le système se réduit à un système à deux équations. Une d'elles peut être prise par z=-2/3 (à moins de vouloir se compliquer la vie) et l'autre une des 3 :
    -x+y+z=-1
    x-y-z=1
    x-y+2z=-1
    On aura y en fonction de x, ou x en fonction de y. L'ensemble des solutions est une droite (horizontale z=constante).

    Pour a=1, le système se réduit aussi à deux équations (mais rien d'aussi agréable que z=b ou x=c ou y=d). On peut néanmoins choisir x, y ou z comme paramètre et exprimer les coordonnées (x,y,z) en fonction de celui-ci.

    Cordialement

  4. #3
    alias_sg1

    Re : Disussion d'un système de trois équations à 3 inconnues

    Je ne comprend pas bien ton explication. Quand une équation est simplement indéterminée, je dois avoir une seule inconnue dans mon triplet de solution et donc, je devrais mettre un nombre pour z et exprimer y en fonction de x et y tel quel ? {(x en fct de y;y;-2/3)} ??

    Parce que une fois que je remplace z dans une des équations, je ne peux pas les soustraire ou les additionner pour en éliminer une vu qu'elles ont des coefficients opposés...

    Merci d'avance pour la reponse

  5. #4
    Moma

    Re : Disussion d'un système de trois équations à 3 inconnues

    en fait, vu que le rang de ta matrice est 2, tu vas avoir un paramètre dans tes solutions : tu pourras exprimer x et y en fonction de z par exemple, ce qui te donnera une droite de solution

  6. #5
    alias_sg1

    Re : Disussion d'un système de trois équations à 3 inconnues

    oui, mais la le problème est que z est un nombre indépendant de x et y.

    Il me faut donc juste exprimer x en fonction de y ou vice versa ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Evil.Saien

    Re : Disussion d'un système de trois équations à 3 inconnues

    Salut,

    Dans le cas ou a = -1 ou 1, tu as 3 equations a 3 inconnues, mais une de ces equations peut s'exprimer en fonction des 2 autres. Clairement, la premiere equation est l'opposee de la 2nde, il faut alors en enlever une des 2.

    Tu consideres seulement les 2 autres, ce qui devrait te donner une droite comme solution.
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

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  10. #7
    homotopie

    Re : Disussion d'un système de trois équations à 3 inconnues

    Citation Envoyé par alias_sg1
    oui, mais la le problème est que z est un nombre indépendant de x et y.

    Il me faut donc juste exprimer x en fonction de y ou vice versa ?
    Oui c'est ça.
    Dans le cas général pour un système de rang à trois inconnues, les solutions forment une droite :
    (x,y,z)=(a,b,c)+k(u,v,w).
    On prend souvent z pour le paramètre k, mais quand w=0 (z=c=constante) on prend y (parfois x) comme paramètre.

    Cordialement.

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