Disussion d'un système de trois équations à 3 inconnues

[invitee619f7a1]

Bonjour a tous,

J'ai un exercice d'examen d'entrée d'ingénieur civil a faire en devoir et il consuste en une discussion du système suivant :

ax+y+z=a
x+ay+az=1
x-y+2z=a

J'ai trouvé que le déterminant de la matrice vaut 0 quand a vaut -1 ou 1. J'ai donc commencé par le cas ou a est different de -1 et 1 et la pas de problème je trouve : S {(1;(-a+1)/3;(a-1)/3)}

Mais lorsque j'entame le deuxième cas ou a=-1, je trouve que le rang de M est de 2 (à confirmer svp), je supprime donc une équation et je trouve que z=-2/3, mais après comme il me reste :

-x+y+z=-1
x-y-z=1
x-y+2z=-1

Impossible de trouver x et y car ils s'annulent...
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[invite35452583]

Bonjour,

comme le rang est égal à 2 le système se réduit à un système à deux équations. Une d'elles peut être prise par z=-2/3 (à moins de vouloir se compliquer la vie) et l'autre une des 3 :
-x+y+z=-1
x-y-z=1
x-y+2z=-1
On aura y en fonction de x, ou x en fonction de y. L'ensemble des solutions est une droite (horizontale z=constante).

Pour a=1, le système se réduit aussi à deux équations (mais rien d'aussi agréable que z=b ou x=c ou y=d). On peut néanmoins choisir x, y ou z comme paramètre et exprimer les coordonnées (x,y,z) en fonction de celui-ci.

Cordialement

[invitee619f7a1]

Je ne comprend pas bien ton explication. Quand une équation est simplement indéterminée, je dois avoir une seule inconnue dans mon triplet de solution et donc, je devrais mettre un nombre pour z et exprimer y en fonction de x et y tel quel ? {(x en fct de y;y;-2/3)} ??

Parce que une fois que je remplace z dans une des équations, je ne peux pas les soustraire ou les additionner pour en éliminer une vu qu'elles ont des coefficients opposés...

Merci d'avance pour la reponse

[invitead065b7f]

en fait, vu que le rang de ta matrice est 2, tu vas avoir un paramètre dans tes solutions : tu pourras exprimer x et y en fonction de z par exemple, ce qui te donnera une droite de solution

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee619f7a1]

oui, mais la le problème est que z est un nombre indépendant de x et y.

Il me faut donc juste exprimer x en fonction de y ou vice versa ?

[inviteeecca5b6]

Salut,

Dans le cas ou a = -1 ou 1, tu as 3 equations a 3 inconnues, mais une de ces equations peut s'exprimer en fonction des 2 autres. Clairement, la premiere equation est l'opposee de la 2nde, il faut alors en enlever une des 2.

Tu consideres seulement les 2 autres, ce qui devrait te donner une droite comme solution.

[invite35452583]

oui, mais la le problème est que z est un nombre indépendant de x et y.

Il me faut donc juste exprimer x en fonction de y ou vice versa ?

Oui c'est ça.
Dans le cas général pour un système de rang à trois inconnues, les solutions forment une droite :
(x,y,z)=(a,b,c)+k(u,v,w).
On prend souvent z pour le paramètre k, mais quand w=0 (z=c=constante) on prend y (parfois x) comme paramètre.

Cordialement.