Le tenseur métrique

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai quelques problèmes de compréhension sur le tenseur métrique :

On a la longueur d'un segment d'une droite passant par a et b qui vaut :



Mais comment traiter le tenseur métrique parce qu'il se met sous la forme d'une matrice ?

Par exemple, prenons le tenseur métrique (correspondant à un espace euclidien à deux dimensions dans un repère orthonormé). Comment trouvé ? (je ne vois pas comment minupuler la matrice dans le calcul)

Puis un second problème : Pour calculer le tenseur métrique à partir des équations permettant de passer d'un espace quelconque à un espace cartésien, on effectue le produit entre le jacobien de ces équations avec la transposée de ce même jacobien.

L'ennui c'est que je ne sais pas ce qu'est la transposée d'un jacobien

Et enfin (), j'aimerais savoir ce que représente le dans l'expression . Je vois bien que l'équation vient de la première expression que j'ai donné, donc on aurait , mais ça me fait pensé au temps propre en relativité restreinte...

Quelqu'un pourrait m'expliquer ?

Merci d'avance
Phys2
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[Gwyddon]

Salut,

Tes dx^i,j sont des vecteurs, il te suffit de faire un bête produit matriciel puis un produit scalaire

Pour ta dernière question, ds représente l'intervalle, effectivement la notation vient de la relativité restreinte

[martini_bird]

Salut,

Tes dx^i,j sont des vecteurs, il te suffit de faire un bête produit matriciel puis un produit scalaire

C'est pas plus simple de dire que les sont les coefficients de la matrice ?

Sinon, ce que dit Gwyddon c'est que tu peux retrouver l'expression (je mets la somme car tout le monde ne connaît ou n'utilise pas forcément la convention d'Einstein) en effectuant le produit

N'oublie pas que le tenseur métrique est une forme bilinéaire.

Cordialement.

[Seirios]

Je n'avais pas fait attention à la convention de la sommation d'Einstein Merci à tous les deux

En attendant, un autre petit problème :

J'essaye de déterminer le tenseur métrique entre le plan euclidien et les coordonnées polaires. Je sais que le résultat final doit être : , mais je n'arrive pas à trouver le bon résultat.

J'ai déjà un problème dans la détermination de ce tenseur :

Pour calculer le tenseur métrique à partir des équations donnant la relation entre l'espace considéré et un espace cartésien, il faut calculer le jacobien des ces équations. Le tenseur métrique est le produit de ce jacobien par sa transposée.

Mais le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne et , donc pourquoi calculer la transposée du jacobien ?

Sinon on a .

A partir de là, j'ai calculé la matrice jacobienne et j'ai trouvé :



C'est bon ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

ta jacobienne est



Sa transposée est :



Il ne te reste plus qu'à évaluer le produit ...

Cordialement.

[Seirios]

Donc il ne fallait pas utiliser le jacobien mais bien la matrice jacobienne.

J'ai cependant un petit problème dans mon produit matricien :



Alors que je devrais trouver (enfin selon wikipédia ...)

Quelqu'un pourrait-il me dire où ai-je fais une faute ?

[Seirios]

De même pour les coordonnées cylindriques, je trouve au lieu de ...

J'ai également remarqué que Mais je croyais que le produit matriciel était commutatif...

[Coincoin]

Mais je croyais que le produit matriciel était commutatif...

Perdu !

[Theyggdrazil]

Mais je croyais que le produit matriciel était commutatif...

Je connais des profs qui t'auraient fusillé sur place et dans la seconde là :P

[Seirios]

Sinon, à partir du tenseur métrique, comment obtenir les coordonnées d'un point ou d'un vecteur ?

Par exemple, on a le point dans le repère cartésien . Comment trouver ses coordonnées sphériques à partir du tenseur métrique ?

[Rincevent]

je croyais que le produit matriciel était commutatif...

d'où l'intérêt de ne pas chercher à mettre la charrue avant les boeufs...

Sinon, à partir du tenseur métrique, comment obtenir les coordonnées d'un point ou d'un vecteur ?

on peut pas, c'est plutôt l'inverse : on déduit le tenseur métrique de coordonnées. Le tenseur métrique sert à mesurer des distances et des angles.

[GillesH38a]

tu as quinze ans, tu es en quelle classe?

tu pourrais deja commencer par un cours d'algebre lineaire avant de t'attaquer à la RG .

Pour ta question des coordonnées, ça n'a pas de sens de "trouver les coordonnées" avec seulement un tenseur métrique (qui doit lui même etre donné en fonction des coordonnées deja ! ) : ce que tu peux faire, c'est de trouver des transformations de coordonnées en d'autres coordonnées (en fait dans ton exemple il y a un système de coordonnées cartesiennes et le tenseur métrique euclidien sous jacent). A priori, le fait de calculer le tenseur métrique à partir des dérivées (par la multiplication matricielle de la matrice jacobienne et de sa transposée) te définit un système d'équations différentielles qu'il est en principe possible de résoudre pour trouver les X'(X). Il n'y a cependant pas de façon générale pour l'intégrer,et il y a des petits problèmes de constantes d'intégration...: par exemple tu vois bien que dans un espace plat, en coordonnées cartésiennes, le tenseur métrique est toujours le même, quel que soit le choix de l'origine O et de la direction des axes , alors que les coordonnées changent elles quand tu fais des translations et des rotations !

Cdt

Gilles

[Seirios]

Donc si j'ai bien compris, l'intérêt du tenseur métrique est de pouvoir déterminer une longueur (ou un angle).

Par exemple, si on a , le fait de connaître le tenseur métrique nous servira à savoir que

Que représente alors x et y dans l'expression de ?

[Coincoin]

Non. Dans la base (x,y) le tenseur métrique est égal à l'identité, donc ds²=dx²+dy². Dans la base (r, ), le tenseur vaut ce que tu as dit, donc ds²=dr²+r²d².

[Seirios]

Un mélange des coordonnées cartésiennes et polaires me paraissait bizarre...

Merci